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K値が導くコロナ収束への道

新型コロナウイルスの感染動向に関する非常に興味深い論文が先日公開されました。中野貴志・大阪大学教授(核物理研究センター)と池田陽一・九州大学准教授(理学研究院物理学部門)による次のプレプリント論文です。(まだ査読前ですのでご注意下さい)。

Novel indicator of change in COVID-19 spread status

一読して、シンプルな数理分析であるにも関わらず、有用性や説明力が高く
・既存の分析手法を補完する「目からウロコ」の研究かもしれない
と感じました。著者たちは、上の英語論文で提唱したアプローチを日本の感染状況に応用した、日本語による論考も執筆しています。

K値で読み解くCOVID-19の感染状況と今後の推移

こちらはとても読みやすい文書ですので、ぜひ一人でも多くの方に目を通して頂きたいです。以下では、この論考内容に沿いながら、著者たちが見出した画期的な分析方法の中身について簡単にご紹介したいと思います。

まず著者たちは、
・X=累計感染者数
・Y=1週間前の累計感染者数
とおき、“画期的な”指標である「K値」を
・K=(X-Y)/X=1-Y/X
と定義します。これはざっくり言うと、過去一週間の累積感染者の増加率(を今日の感染者数を基準として評価したもの)です。本論考は、このK値の動きを通じて極めて簡単かつ正確に感染状況が予測・把握できる可能性を指摘しました。具体的には、Kが経過時間に対して線形(つまり日数×定数)で減少していくという線形モデルを提案し、これが現実のデータと当てはまりが良いことを確認しているのです【注1】。

今回の新型コロナウイルスの分析で用いられている様々な疫学モデルの違いは、本論文の概念を使って表現すると、K(t)が時間tを通じてどのような振る舞いをするかに関する想定の違い、と解釈することができます。著者たちの想定は
・K(t)がtの線形関数である
という非常に単純なものです。ロックダウンの実施や海外からの感染者流入など、感染者数の動向に大きな影響を及ぼす事象が発生すれば、この線形トレンドもシフト(ジャンプ)します。驚くべきことに、このKの線形(+トレンド・シフト)モデルが現実のデータとかなり当てはまりが良いことが、論考(や元論文)の中で明らかにされているのです【注2】。特に日本においては、4月以降はK値が綺麗にほぼ線形の下降トレンドに乗っていることがデータから確認できます。

以下、本文から印象に残った箇所をいくつか引用させて頂きます。(カッコ内は安田のコメントです)

日々の感染者数のふらつきに容易に左右されない Kの安定性と将来の予測や状態の変化の察知を容易にする Kの線形性は、その欠点を補って余りある。丁度 1 週間の間隔を開けて同じ曜日の総数の比から計算する Kには、日本の検査体制の問題「土日の検体の持ち込みが少なく、月曜の陽性判定者は少なくなる」の影響を受けにくい、すなわち、日ごとの新規感染者数で一喜一憂する人を減らすという利点もある。
(Kを用いることの大きな利点ですね。実行再生産数Rなどの指標と違って、速報性が高く、計算が簡単な点も素晴らしいと思います。)
日本におけるK値の推移は極めて安定で、ヨーロッパのいくつかの国で見られたような社会活動の制限等の施策による感染収束速度の増加もなければ、米国で見られるような感染再拡大の兆候も見られない。4月 3日から 24日にかけては、傾きが-0.0283 の直線でよく近似され、それ以降の推移も k=0.9185の予想線に沿って推移している。このまま順調な推移が継続すれば、5月中旬には多くの国で感染収束宣言が出ているレベルである K=0.05に達するであろう。
(K値で判断する限り、緊急事態宣言の前後で大きく感染者数の増加パターンは変わっていません。宣言前から、日本では人々の努力によってコロナをかなり抑え込めていたことがうかがえます。)
以上のように、K値の推移を読み解くと、日本では COVID-19が感染収束に向かって順調に進展していることがわかる。この最後の局面で詰めが甘くならないように適時適切な施策を実施することを真剣に考える時期に差し掛かっている。経済や教育に対する影響が甚大な割には、今のところ日本では効果がはっきりしない欧米型の社会活動自粛施策を今後も継続するか否かだけが選択肢ではない
(3密を避けつつ人出を徐々に戻していったとしても、Kのトレンドが大きく上振れしない限り、台湾や韓国のようにコロナを抑え込むことができるかもしれません。)
人の命を守るという原点に立ち戻れば、病院及び医療関係者の安全を守ることが最も重要ではないだろうか?今後も散発的に発生すると予想されるクラスター感染が病院で起こらないよう、感染者がCOVID-19を対象としない一般病院の患者及び医療関係者と接する可能性が極力少なくなるような工夫が必要である。その上で、感染者とその濃厚接触者の早期の特定、追跡、隔離が極めて有効であること国内外の多くの実例が示している。
(病院や介護施設などでのクラスター感染以外の市中感染については、日本では都市・地域によらず、ほぼ一様に封じ込めに成功していることが可視化されているように感じました。)


【注1】
厳密に言うと、著者たちはKの線形性を仮定したのではなく、累積感染者数の増加率が経過時間tに対して幾何級数的に減少していく性質を仮定し、このモデルから「K値」の変化が(広範なパラメータ領域の下で)tの線形関数として近似できることを示しました。

新型コロナウイルスだけでなく、爆発的に広がる感染症は、しばしば「感染者数が指数関数的に増加する」と表現されます。ここで、もし文字通り指数関数的に増加する、つまり増加率(指数関数の引数a)が時間を通じて一定であれば、患者数は無限大に発散してしまいます。このことから、現実をうまく説明できるような疫学モデルでは、aは時間を通じてa(t)といった形で変化しなければなりません。先ほどの議論から、a(t)は時間tが経過するにつれて小さくなりいずれは0に収束する、つまり
・a(t) → 0 as t → ∞
という関係が成立しているはずです。著者たちは、
・a(t)が単位時間あたり一定の割合k(ただし0 < k <1)で幾何級数的に減っていく
こと、つまり
・a(t+Δt) = ka(t)
を仮定しました。この仮定から、K値の変化が(広範なパラメータ領域の下で)tの線形関数として近似できることが、理論的に導かれるのです。また、現実のデータから求まるKから、kを推計する方法も提示されています。

【注2】
Kが低下することは、新規感染者が減少することを必ずしも意味しません。たとえば、累積感染者数が1週間ごとに
・3000人→6000人→10000人
と増加している状況をイメージして下さい。6000人になった時点でのKを計算すると
・1-3000/6000 = 0.5
となります。K=0.5というのは、過去1週間で累積感染者数が倍増したことを意味するわけですね。次に、さらに感染者が4000人増えて、10000万人となった時点でのKを求めると
・1-6000/10000 = 0.4
となり、1週間前のKから0.1だけ減少していることが分かります。新規感染者が3000人→4000人と1.33倍に増えている状況でも、Kは0.5→0.4と0.8倍に減っている点に注意してください。新規感染者が増加傾向にある国・地域でも、累積感染者から求めた指標であるK値が(急激に感染者が増えるようなトレンド・シフトを除いて)減少傾向にあることは、現実のデータから確認することができます。


【「K値」に関するnote記事】
K値が導くコロナ収束への道
スライドで分かる「K値」の考え方
スライドで分かる「K値」の使い方
【動画】「K値」ってなに? (ミヤネ屋での解説の補足)
「K値」に関するQ&A 

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経済学者|大阪大学准教授 専門はゲーム理論とマーケットデザイン。関西テレビ「報道ランナー」(毎週火曜日)、テレビ東京「ワールドビジネスサテライト」などにコメンテーターとして出演中。趣味はサッカー、マンガ、パンケーキ!

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