今更ながらモンティ・ホール問題を知った

Youtubeのとある動画で「マリリン=V=サヴァント」女史のことを知ったついでに、今更ながら「モンティ・ホール問題」というものを知りました。

動画内ではマリリン氏がこれまでの数学界の考え方を正したとだけ説明されていて、モンティ・ホール問題のことについては深く解説していませんでした。
そこで、ネットで検索してみました。

モンティ・ホール問題とは？

【前提】
三つの扉がある。一つは正解。二つは不正解。

【ステップ１】
挑戦者は三つの中から一つ扉を選ぶ。

【ステップ２】
司会者（モンティ）は答えを知っており，残り二つの扉の中で不正解の扉を一つ選んで開ける。

【問題】
挑戦者は残り二つの扉の中から好きな方を選べる。このとき扉を変えるべきか？変えないべきか？

●数学者の回答
残された２枚のうち正解が入っているのは1/2なので、変更してもしなくても確率は変わらない。

●マリリン氏の回答
絶対に変更するべきだ。
なぜならその方が正解の確率が上がるから。

【実際の確率】
マリリン氏の言う通り、変更したほうが正解確率は2/3になるので有利。

その理由の解説ページ

モンティ・ホール問題とその解説 | 高校数学の美しい物語

たしかに「３枚中、残った２枚のドア」と考えると「確率1/2」と言ってしまいたくなるのは理解できます。
しかし「司会者は必ず外れのドアを開ける」というルールが実はかなり曲者でした。
つまり「答えを知っている司会者の選択」にもすでに確率が潜んでいたわけですね。

確率を書き出した表

挑戦者が最初の３枚のドアからもし「正解」のドアを選んでいた場合、司会者は残った２枚のドアのどちらでも選べます。
しかし挑戦者が「ハズレ」のドアを選んでいた場合、司会者に選択肢はなく、残された１枚のハズレしか開く選択肢はないということですね。

我々はどうしても「挑戦者」側の気持ちになってしまうため、司会者が「ハズレを消して確率を上げてくれる」という事実に気づかず、最初の選択から変えなければ「1/3の確率のまま」と、変更チャンスで「1/2以上に勝率が上がる」を「イーブン」と考えてしまうようです。
これも心理的トリックと言えるのかもしれませんね。

解説ページの数式を見たときには一瞬「どういうこと？」となりましたが「司会者の取れる選択肢の確率」に気づいてスッキリしました！
まさに目から鱗が落ちた気分です！

もちろん確率論なので、変更した結果「1/3」の確率で失敗することもあります。
「最初の直感に従うべきか？」それとも「数学的確率を選ぶべきか？」
……ギャンブルって怖い！