かけ算に分解する〜数の楽しみ方〜

ちょっと長いですが心を込めて書きましたので是非お付き合いください。

かけ算九九を習ったあと、厳かに、ではその逆を考えましょう。とくる。そう、割り算ですね。

7×7=49

だから、

49=7×7

ですね。当たり前じゃん。と思っては身体によくありません。

数を２つの数のかけ算にすることこそ、数学のなかでも極めて大きな問題なのです。

いわゆる暗号化技術などは、これの応用です。

例えば、
123456789
は？

9で割り切れるのは、判定法からすぐに分かることはわかるのですが、さらに割れて

123456789=3×3×3607×3803

ってなるし、これだけでも驚きなのですが、

1234567891

は、どうやっても1かそれ自身でしか割り切れない、つまり素数なのです。

という次第で、数をかけ算に分解できるか？もしくは、素数なのかどうか？ともいえますね、その手法を編み出すのが数学の非常に重要な問題になってます。なので、割り算ができる人は尊敬の眼差しで見なければいけないのです^_^

で、私もその問題にかじりついていまだに九九をやってるという訳なのです。。。

因数分解は文字式版の九九

そんな中ちょっと面白かったのは、因数分解ってありまよね？

x^2+5x+6=(x+2)×(x+3)

みたいなのです。(かける"×"をわざと書きました)

それって、文字式版の九九といえますね。

左の式の訳の分からないのは、実は(x+2)と(x+3)のかけ算なんだよ〜って言う話で、これはこれはすごいことです。偉業ですね。

ここで、xは何でもいい数なので、9にしちゃいます。すると、

9^2+5×9+6=81+45+6=…

ああ、面倒なので、計算機を使いますと、

=132

だそうです。

ここで、ふふふ、なるほど、と思った方がおられたら、カエルのように飛び上がるくらいな感じですが、

132の各桁を足すと

1+3+2=6

ですね。とりもなおさず、

x^2+5x+6

のxと関係ない6が出てきています。

なんでか？はちょっと面倒なのでいつかまたの機会に。

それでどうした？という話なので、先にいきましょう。

実はさっきの因数分解で、(x+2)と(x+3)が登場していましたが、それぞれのxを9とすると、

x+2=9+2=11

x+3=9+3=12

で、もちろん11×12=132になる訳なのですが、ちょっと待った！

11の各桁を足すと？

1+1=2

12の各桁を足すと？

1+2=3

という次第です。これをかけますと、あら不思議、

2×3=6

ですね！！

整理してみましょう。

132=11×12

のそれぞれの桁を足したものも、

6=2×3

とかけ算になっていますね！ってことっス。

ちょっと注意

たまたまじゃない？と思われている方もいらっしゃるでしょう。

だって、

49=7×7

の49の各桁を足すと

4+9=13

じゃん！と。

これは恥を忍んで申しますと、7×7は1桁同士なのでこれ以上無理なのっス。

それじゃダメじゃね？という気持ちを押さえて、九九表はそのまま使わせてもらうことにします。

さっきの数に挑戦

で、さて、では、さっきの

123456789=3×3×3607×3803

が気になるところですね。各桁の足し算がどうなっているのか？！ドキドキです。

左からやってみましょう。

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

ここでさらに各桁を足して

4+5=9

ですね。左からは9が出てきました。これはこれで置いておきます。あとで比較しましょう。それで、

右からは、3と3と3607と3803です。それぞれ各桁を足してみましょう。3はいいとして、

3607は？

3+6+0+7=16

さらに各桁を足して

1+6=7

ですね。3803は？

3+8+0+3=14

さらに各桁を足して

1+4=5

なので、右からは、

3×3×7×5=9×7×5=315

さらに各桁を足して

3+1+5=9

ですね。右からは9が出てきました！

ちょっと長かったですが、1桁になった末に左からも右からも

9=9

となってくれました！

めでたしめでたし。

なんでか？

なんでか？？と思ってもらえたらやった甲斐があります。

私もしばらく不思議だなーと思ってました。

が、ある時わかりました。

さあ、それを考えましょう。というのが数学の勉強でやりそうで嫌らしいところですね。

もったいぶってないで答えてしまうと、

各桁の足し算は、数を9で割った余りになっているという事実があります。

ただそれだけなのです。

あとごちゃごちゃいうのはやめまして、今日はこのへんで！

モヤッとした方は、出会った数を分解して、各桁を足すとどうなるか実際にやってみて、経験値を増やしてみて下さいね！

お子さんがいたら、先程もチラッと申しましたが九九表ではやらない方が良くて、3桁くらいの数で遊んでみて下さいませ。

最後までお読みくださり、ありがとうございます！！