数をかけたら巡る話

先日、○×○の下1桁について考えました。

懲りずにその続きをやってみましたら、数は巡回してる！のでした。その発見(?)のお話です。

以下では話を下1桁に限りますね。

0×0→0, 1×1→1, 2×2→4, 3×3→9, 4×4→6 (16なので下1桁は6ですね、という具合に進めていきます),
5×5→5, 6×6→6, 7×7→9, 8×8→4, 9×9→1

これを順にまとめると、○×○つまり平方数の下1桁は

(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1)

とまあ、綺麗✨というのが先日のお話でした。

立方数

同じように○×○×○つまり立方数の下1桁についてもみてみると、

(0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9)

という訳で、立方数には、これといって判別法はなく、全ての下1桁が現れます。

四乗数

じゃ今度は、○×○×○×○つまり四乗数の下1桁をみると、

(0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1)

となっていて、四乗数の下1桁は、0, 1, 5, 6のどれかというのが分かります。こんなの予想してなかったです。法則があるのを見つけると嬉しくなりますね^_^

五乗数

では、○×○×○×○×○つまり五乗数は？といえば、

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

これ、すごいですね！！！✨✨✨

下1桁が□の数を5回繰り返してかけた数は、その下1桁がそのまま□だ！ということですね！

例えば、下1桁が「7」の数、「12307」を5回かけた数「12307^5」の下1桁は「7」だよ！と即座に言えるってことです！

下1桁が「4」の数、「5083684」を5回かけたら、その下1桁はやっぱり「4」ってなってる！ことが計算せずにわかっちゃう。

夏休み中、子どもに3でも、13でも、なんなら23でも、とにかく5回かけてみて！そしてその下1桁を答えて！とやってみせて、下1桁だけの計算をすればいいって気づく子に、全部計算しないと気が済まないという子もいるでしょう。

ですが、我々は知っています、計算しなくても答えは「3」なのです^_^

それはそれとして、これは次のような話なのです。つまり、

5乗数で下1桁は、一巡

したことが分かりますね！

こんど6乗数、7乗数、8乗数、、、ってやっていくと、

6乗数の下1桁は平方数の下1桁と同じ、

7乗数の下1桁は立方数の下1桁と同じ、

8乗数の下1桁は4乗数の下1桁と同じ、

9乗数の下1桁は5乗数およびそのままの下1桁と同じ、

なんてな繰り返しの規則があったのですね！

これはなぜなのでしょうか？

何か理屈があるのでしょうか？

そこに隠れた秘密があるのでしょうか？

いずれ気が向いたら探索してみようと思います！

いやー、面白い🤣