【三角関数】余弦定理のつくりかた

余弦定理

今回は余弦定理についてです。
まずは結論。

$$
a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A
$$

ですね。
これがなぜ成り立つのか？
なのですが、これ、もしも$${\angle \mathrm{A}=90 \degree}$$だったら、

$$
a^2 = b^2 + c^2
$$

っていう、ただのピタゴラスの定理（三平方の定理）になっちゃいます。
ということは、似たようなものなのかな？
と思って、考えてみましょう。

ということで、むりやり直角三角形を作ってみます。

こうすると、$${\triangle \mathrm{ABD}}$$と$${\triangle \mathrm{CBD}}$$でピタゴラスの定理が使えそうですよね。
いったん$${\triangle \mathrm{ABD}}$$に着目すると、

となりますよね。
次に$${\triangle \mathrm{CBD}}$$に着目すると、

となるので、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を適用させると、

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align*}
a^2 &= (b-c \cos A )^2 + c^2 \sin^2 A  \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 \cos^2 A + c \sin^2 A \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 (\cos^2 A +  \sin^2 A) \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 \\
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A 
\end{align*}
$$

となり、余弦定理が導けました！
ちなみに、$${ \angle \mathrm{A} }$$が鈍角だった場合は下記のようになります。

まずは$${ \triangle \mathrm{ABD} }$$で、$${ \mathrm{BD} = c \sin (180\degree -A) }$$と$${ \mathrm{AD} = c \cos (180\degree -A) }$$となります。

ここで、

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align*}
\sin(180\degree -\theta) &= \sin\theta \\
\cos(180\degree -\theta) &= -\cos\theta   \\
\end{align*}
$$

となるので、
$${\triangle \mathrm{BCD} }$$にピタゴラスの定理を適用させると全く同じ結果が得られます。

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align*}
a^2 &= (b-c \cos A )^2 + c^2 \sin^2 A  \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 \cos^2 A + c \sin^2 A  \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 (\cos^2 A +  \sin^2 A) \\
a^2 &= b^2 - 2bc \cos A + c^2 \\
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A 
\end{align*}
$$

ということで、余弦定理完了です！
ピタゴラスの定理と、三角比の定義を組み合わせたら自然にできるんですね。

まあ、導出はめんどくさいですので、覚えてしまった方が楽かと思います。

忘れたときは、
「こうすれば導けたはず…」
と思いだしてもらえたら幸いです。