【三角関数】超重要な2つの公式の根拠

今回は、三角比の中でも超重要な公式について、
なぜそれが成り立つのか？
を解説します。
途中計算をすっ飛ばした、堅苦しい証明にはならないように気を付けましたので、
証明ギライの人も是非見ていってくださいね！

sin2乗＋cos2乗＝1の根拠

まずは$${\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}$$です。
めっちゃくちゃ使いまくる公式ですよね。
なんでこれが成り立つのかは、
三角比で最初に出てくるこの直角三角形を使えば簡単に分かります。

ここで、
$${b=a\sin\theta}$$、
$${c=a\cos\theta}$$でしたよね。

※$${\sin\theta=\frac{b}{a}}$$
みたいな分数で表す表現ではなく、
こちらの表現も便利なので覚えておくと良いですよ。

で、この三角形は直角三角形でもあるから、ピタゴラスの定理（三平方の定理）が適用できますね↓

$$
a^2=b^2+c^2
$$

ということは、こうなります。

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align}
a^2 &= b^2+c^2 \nonumber \\
a^2 &= (a\sin\theta)^2 + (a\cos\theta)^2 \nonumber \\
a^2 &= a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta \nonumber \\
a^2 &= a^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \nonumber \\
1 &= \sin^2\theta + \cos^2\theta \\
\end{align}
$$

ね！$${\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}$$が出てきましたね！

結局、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を
三角比で表したものが
$${\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}$$
なんですね。

tan=sin/cosの根拠

つぎは$${\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} }$$です。
これまた使いまくる公式ですよね。
そしてこれも、なぜ成り立つのかは、
この直角三角形を使えば簡単に分かります。

先ほどと同様、
$${b=a\sin\theta}$$、
$${c=a\cos\theta}$$
としておきましょう。

※くどいですが、
$${\sin\theta=\frac{b}{a}}$$
という分数で表す表現ではなく、
こちらの表現も便利なので是非覚えてください。

$${\tan\theta= \frac{b}{c} }$$
でしたから、

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align}
\tan\theta &= \frac{b}{c} \nonumber \\
\tan\theta &= \frac{a\sin\theta}{a\cos\theta} \nonumber \\
\tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \nonumber \\
\end{align}
$$

となりますよね。
求めたい公式が出てきました！

今回は以上です。
使いまくる公式だけど、
何で成り立つんだっけ？
って思った時に思い出してもらえたら嬉しいです。

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