トーラス盤上のP(n)-Riderの分類

上記の続きです。

例によって以下のように略記します：
・$${R(a,b)}$$：$${(a,b)\textrm{-Rider}}$$
・$${L(a,b)}$$：$${(a,b)\textrm{-Leaper}}$$
・$${PR(n)}$$：$${P(n)\textrm{-Rider}}$$
・$${PL(n)}$$：$${P(n)\textrm{-Leaper}}$$

$${9\times9}$$トーラス盤上の$${PL(n)}$$は下記の記事で扱いました。

$${PL(n)}$$と$${PR(n)}$$の定義は同様なので、上記の記事の系７.２および定理７.３を参考にできます。前回の命題３とあわせて以下の定理４を得られます。

ただし、論理式$${\varphi}$$に対し

$$
⟦\varphi⟧ = \begin{cases}
0 & \text{(} \varphi \text{が偽の場合)} \\
1 & \text{(} \varphi \text{が真の場合)}
\end{cases}
$$

とし、集合$${A}$$に対し$${1\cdot A=A,\;0\cdot A=\varnothing}$$とします。

定理４（$${9\times9}$$トーラス盤上の$${P(n)\textrm{-Rider}}$$）
$${n}$$を自然数とする。このとき、$${9\times9}$$トーラス盤上の$${P(n)\textrm{-Rider}}$$は下記の通りである。ただし、合同式はすべて$${9}$$を法とする。

［０］$${n\equiv0}$$の場合$${(n=9m)}$$

$$
\begin{align*}
&PR(n) \\
=\;\;&R(0,1) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(0,3) \\
+\,&\llbracket\; 3\nmid{m} \;\rrbracket \;R(1,1)
\end{align*}
$$

［１］$${n\equiv\pm1}$$の場合

$$
\begin{align*}
&PR(n) \\
=\;\;&R(1,1) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(1,2)
\end{align*}
$$

［２］$${n\equiv\pm2}$$の場合

$$
\begin{align*}
&PR(n) \\
=\;\;&R(1,2) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(1,1)
\end{align*}
$$

［３］$${n\equiv\pm3}$$の場合

$$
PR(n) = R(1,3)
$$

［４］$${n\equiv\pm4}$$の場合

$$
\begin{align*}
&PR(n) \\
=\;\;&R(1,2) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(1,1)
\end{align*}
$$

証明
［０］$${n\equiv0}$$の場合$${(n=9m)}$$
定理７.３と同様に以下を得る。

$$
\begin{align*}
&PR(n) \\
=\;\;&R(0,1) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(0,2) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(0,3) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;R(0,4) \\
+\,&\llbracket\; 9\mid{m} \;\rrbracket \;R(0,0) \\
+\,&\llbracket\; 3\nmid{m} \;\rrbracket \;R(3,3)
\end{align*}
$$

$${R(0,1)=R(0,2)=R(0,4),\,R(3,3)=R(1,1)}$$であり、$${R(0,0)\subset R(0,1)}$$であるからステートメントの等式を得る。

［１］～［４］も同様にして示せる。

$${\square}$$

$${P(n)\textrm{-Leaper}}$$よりもシンプルな結果になりました。特に、$${n\equiv\pm3}$$のときは常に$${PR(n) = R(1,3)}$$となるのが少し面白いかもしれません。

登場する$${R(a,b)}$$を

$$
\begin{align*}
R(0,1) &：城 \text{（Bishop）} \\
R(0,3) &：参 \text{（Threerider）} \\
R(1,1) &：僧 \text{（Rook）} \\
R(1,2) &：夜 \text{（Nightrider）} \\
R(1,3) &：駱 \text{（Camelrider）}
\end{align*}
$$

と書くことにすれば、結果は以下のように書けます。

$$
PR(n) = \begin{cases}
城
+\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;参
+\llbracket\; 3\nmid{m} \;\rrbracket \;僧 &\text{if } n\equiv0 \, (n=9m) \\
僧 +\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;夜 &\text{if } n\equiv\pm1 \\
夜 +\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;僧 &\text{if } n\equiv\pm2 \\
駱 &\text{if } n\equiv\pm3 \\
夜
+\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;僧 &\text{if } n\equiv\pm4 \\
\end{cases}
$$

$${PR(2024)}$$のように$${PR(n)}$$がBishopとNightRiderの複合になるのは、$${n}$$が以下の場合だと分かりました。結構多いですね。

$$
\begin{align*}
・n\equiv\pm1 \,\, かつ \,\, n \,が\, a\equiv\pm{2} \, なる約数\, a \,を持つ \\
・n\equiv\pm2 \,\, かつ \,\, n \,が\, a\equiv\pm{4} \, なる約数\, a \,を持つ \\
・n\equiv\pm4 \,\, かつ \,\, n \,が\, a\equiv\pm{2} \, なる約数\, a \,を持つ \\\end{align*}
$$