京都大学理系数学2020年

京都大学に在籍してるのに京都大学らしい写真がなくて写真なしになります.
毎日バタバタと忙しく合間の時間を使ってなんとか全6問解いたので感想.
都合上第5問の答えだけ予備校の解答速報見たけど他の解答や講評などは見てないので完全に個人の感想になります.

第1問
複素平面の問題だけどほとんど計算ゴリ押しでもなんとかなる.
自分は解が中心-a,半径aの円周上にあって正三角形を成してることを使って少し楽に解いたかな(?)
これは全員答えは合わせておきたい問題.
易しい

第2問
(1)はよくある問題だと思う.数学的帰納法を用いてすぐできる.
n=k,k+1を仮定してk+2を導く典型問題かな.
(2)は|α|>1と(-α)^nって形とsinx/xの極限を使いたい気持ちに素直にやったらできた.うまくできなかったらはさみうちとか考えようと思ってたら綺麗な形が出たのでよかった.
これも易しい.

第3問
今回この問題が答えを出すだけなら時間がかからなかった.条件から内積の値は成す角のcosの値になって条件からA,B,C,Dの対称性を考えれば図が簡単に予想できる.
ABの中点Mとおけば簡単な内積計算で下の図が書けてk=cos75°cos30°となってcos75°の値覚えていれば値はすぐに出せたという感じ.(図は解いてるときのメモ書き.)

(個人的にはかなりあっさり出てしまったのではてなが付いてます笑)
記述もABの中点MとおけばC,DはMを通るABに垂直な平面上にあることが言えて内積の値から鈍角か鋭角かをしっかり言えばきっちり書けそう.
これは図形の対称性が見えればできるかなと思うけど空間なので訓練が必要だと思う.やや易しい〜標準
ベクトルの問題だから内積計算と座標設定でも解ける.文字の数がやや多くなって大変だけど解ける.ベクトルの良いところが「図形が正確に把握できなくても解ける」というとこ.ベクトルが数Bからなくなるのはやはり残念.（文系は図形問題を解く手段を１つ失う）

第4問
問題文見たらすごい難しそうな整数問題.
結局素因数に3をいくつ持つかという問題なので丁寧に場合分けをして計算をしていく.特に変わった発想もせずひたすら解いていく感じ.合同式を知ってると少しはやりやすいと思うけど結局手を動かすことになる.うまい別解がありそうな問題だなと思った.
標準くらい.

第5問
これがかなり困った.普通に1時間以上考えていたと思うので個人的捨て問題.
最初は１例から行と列入れ替えで全ての通りが出てくるのかなと方針立てて問題文にある1例をごちゃごちゃしてたら反例が出てきて困った.
その過程で思いついた方法をやってみようと思ってそのときの記録を乗せておく.

自分が高校が浪人のときはこれは解けてなかっただろうなと思う.
この方法でやってもなお不安だったので最初にも書いてある通りこれだけ大手予備校の解答を見て値があってるかだけでも確認した.(解き方はまだ見てない.)
東大のすべての問題よりも難しいと感じた.
テーマとしてこれの一般論などがあるのか少し気になった.詳しい人教えてください.

第6問
普通に求積問題.切り口が単純な方向で切るのが鉄則でまぁ
x=tで切れば円環が出てきて色々すれば答えが出る問題.図形がそもそも,想像できそうでなんか出来ないって感じに思える(恥ずかしい話この手の求積久しぶりだからかもですが).個人的には求積問題として良い問題だなと思っていつか授業で使いたいなぁと.でも少し難しすぎるかなー.
やや難しい.でも楽しかった.

前情報で京大難しいと聞いていたのでかなり構えて解いてしまった.
間違いなく第5問がきついと思う.第3問は見えれば答えを出すのは難しくないけど,やっぱり第1問と第2問と第4問をしっかりとる感じですかね.(どれも決して簡単ではない.)
どちらにせよ150分で解ける量ではないのは確か.誰もができるスラスラ計算問題がなかったのもきつい.疲れたけど楽しかった.

もっと一日にたくさん問題を解いておきたいけどなかなかなぁ
気づけば3月.話題になってるやつや旧帝大の問題くらいは解くかせめて目を通しておきたいところです.