【高校情報Ⅰ参考書・問題集・教科書/基本情報技術者】浮動小数点数／IEEE754
この浮動小数点数は私が基本情報技術者試験（20年前ですが・・）を受ける際に、理解に物凄く苦しんだ部分です。
教科書は１ページ程度で説明していますが、よっぽど理解力がある人じゃなないと厳しいかなというのが感想です。
教科書６ページ分くらいに拡張した内容で基礎からできるだけ細かく区切って動画解説しています。
浮動小数点数・IEEE754
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■簡易学習指導案
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【文字おこし】
今日はコンピュータの小数の表し方である浮動小数点数について説明していきます。
ただ、ここは教科書の内容を読んでもほとんどの人は難しく感じる部分なので、基礎的な部分から説明していきます。
１０進法から２進法の変換と２の補数は理解していることが前提で進めるので、まだ勉強していない人は概要欄に貼ってあるＮ進法変換と２の補数に関する動画を先に見てこの動画を見てください。
前提としてコンピュータの世界で扱える数は有限になります。
どこかで打ち切らないとコンピュータの扱える容量をオーバしてしまいます。
例えば小数点以下で扱える桁数を５桁として考えていきます。
０．０００００１２３４５という数字ががあった場合、
５桁目で区切るので数字があるのにもかかわらず０になってしまいます。
逆に整数部分が５桁まで可能とした場合に
１２３４５０００００ という数字があった場合にも０となってしまいます。
実際にはもっと大きな桁数を扱いますが、多くのゼロという数字を扱うために多くのビット数が必要になります。
この救世主となるのが仮数と基数と指数です。
中学でも習ったと思いますが
0.0000012345 は 小数点の位置を右にひとつづつずらすと
00.000012345 × 10のマイナス１乗と表されます。
もう一つ右にずらすと
000.00012345 ×10のマイナス２乗と表されます。
もう一つ右にずらすと
0000.0012345 ×10のマイナス３乗と表されます。
小数点の右に０が無くなるまでずらすと、
0.12345 × 10のマイナス５乗となります。
小数点以下５桁をとるとさきほどは０しか残りませんでしたが
このやり方だと12345という数字が取得できました。
部位の名称も復習します。
0.12345の部分を仮数、10の部分を基数、-5の部分を指数といいます。
このように仮数、基数、指数を用いることで 限られたビット数の中でより多くの桁数を保持することができます。
このように指数表記を用いて数値を扱う表現方法を浮動小数点数と言います。
今は理解しやすいように１０進法で行いましたが、コンピュータは０と１の２進法で扱うので、今度は２進法で考えていきましょう。
0.0000010111というビット列で考えていきましょう。
二進法で表されるので基数は２となります。
小数点を一つ右にずらします。
00.00001011× ２のマイナス１乗となります。
もう一つ右にずらします。
000.0001011× ２のマイナス２乗となります。
小数点の右隣りに1が来るまで繰り返すと
0.1011× ２のマイナス５乗となります。
指数部と仮数部をそれぞれ何ビットに分けるかは、さまざまな規格で決定されていますが、
ここでは国際標準化団体のIEEE（アイトリプルイー）により規格化されている浮動小数点数の形式であるIEEE754を説明します。
３２ビット、６４ビット、１２８ビット形式がありますが、今回は３２ビット形式で説明します。
プラスかマイナスかの符号をS 指数部をE 仮数部をMとすると
（―１）のS乗 × １.M × E-127 乗で表されます。
正直分けわからないと思いますので、先ほど求めた０．１０１１×２のマイナス５乗の例で当てはめていきます。
まず符号は ―１ の０乗は １ ―１の１乗はー１となります。
つまり、プラスを扱う場合は、０ マイナスを扱う場合は１とします。
今回はプラスなので０となります。
そして１．Mですが、この形に合わせるためには整数部の１桁目を１にしなくてはいけません。
暗黙的に整数部を１とすることで、０．で表すより１桁多く表すことができます。
先ほどは０．１０１１１と整数部は０なので、小数点をもう一つ右にずらす必要があります。
1.0111 ×１０のマイナス６乗となります。
よって
Mは０１１１になります。
そして、２のE―１２７乗の部分ですが
この１２７っていったい何なんだとおもわれるとおもいます。
これは、バイアスというもので、下駄をはかせるという意味になります。
があります。
たとえば今回はマイナス６乗なので
Ｅには１２１があてはまります。
実際の指数の範囲をー１２７～１２８の範囲とした場合、バイアスを用いることで０から２５５の正の数で表すことができます。 二進数表記で００００００００から１１１１１１１１となり、負の数つまり補数を意識しなくてよくなります。
いま求めた Ｓ Ｍ Ｅ をビット列で表します。
符号部Ｓは１ビット、指数部Ｅは８ビット、仮数部Ｍを２３ビットで表します。
このビット列に順番に当てはめていきます。
符号部はプラスなので、０
指数部Ｅは１２１ ですが、これは１０進法表記なので、２進法に変換する必要があります。
すだれ算を使って２で割っていくと
1111001 となります。
８ビット表記なので、右づめして空いた桁は０埋めします。
仮数部Ｍは小数点以下のぶぶんなので０１１１ですが左詰めにして、その他の桁は０埋めします。
ややこしく感じる方も多いと思いますが、有限なコンピュータ領域を有効利用するために偉い人が考えた手法になります。
試験で問われるレベルの応用問題を解いて行きましょう。
１０進法であらわされる ―15.125 を ＩＥＥＥ７５４の形式で表してください。
そして、符号１ビット、指数部は８ビット、仮数部は２３ビットの表の中身を埋めてください。
まず、２進法に変換する必要があるので整数部、小数部それぞれ２進法に変換します。
１５の整数部はすだれ算を使います。２で割っていって1111となります。
0.125の小数部分は小数部が０になるまで２をかけていきます。
０．１２５×２は ０．２５０
０．２５０×２は ０．５
０．５×２は １．０
それぞれの整数部の数を上からとって、００１となります。
よって、１０進法であらわされる ―15.125 は
２進法では―１１１１．００１ となります。
ＩＥＥＥ７５４の形式にしていきましょう。
まず符号はマイナスなので Ｓは１となります。
整数部を１にするために小数点を左に３つずらします。
同時に左にずらした分 整合性を合わせるために ２の３乗をかけてあげます。
Ｅ－１２７の部分は ―１２７して３になる数なのでＥは１３０となります。
ビット列の表に当てはめていきましょう。
符号Ｓはマイナスなので１
指数部のＥは１３０は１０進法なので２進法変換すると10000010で既に8ビットなので左に０埋めする必要はなくそのまま記入します。
仮数部は、111001でのこりは０埋めしてあげます。
かなり大変だと思いますが、パターンは決まっているので確実に得点源にできるように練習しましょう。
以上になります。
【参考サイト・参考文献】
★私の目標
「とある男が授業をしてみた」 の葉一さん
https://www.youtube.com/user/toaruotokohaichi
※Google社に招待頂いた、「YouTube教育クリエイターサミット2020」で
葉一さんと文部科学省・Google役員の対談セッションに感銘を受けて、高校情報講座スタートしています。
tkmium note（共通テスト対策・プログラミング・情報教育全般）
★情報関係基礎の過去問解説が充実しております！
https://tkmium.tech/
文部科学省 「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm
詳細（情Ｉ703 高校情報Ｉ Python）｜情報｜高等学校 教科書・副教材｜実教出版 (jikkyo.co.jp) 検定通過版
https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/22023322
令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」｜高等学校 情報｜日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
https://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/joho/2022_joho01_1/textbook/
その他、情報処理技術者試験（全レベル１～４）／IT企業15年勤務（システム技術部 部長）経験から培った知識を交えながら解説しています。
かわいいフリー素材集 いらすとや (irasutoya.com)
https://www.irasutoya.com/
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