解答例 を作ってみた ＿ 京都大学 数学 1986年前期 第1問
この解答例は、個人的に作成したものです。
添削を受けたものではないので、誤りや不備などがあるかもしれません。利用はご自身の責任で行ってください。
§１
京都大学
1986年 数学・前期 第一問 （文系理系共通）
ーー
問題文
以下のリンクで参照してください。
京大理系 1986前期 (server-test.net)
" server-test.net/math/php_q.php?name=kyoto&v1=0&v2=1986&v3=1&y1=1986&n1=1&y2=1986&n2=0_2&y3=1986&n3=3&y4=1986&n4=2&y5=1986&n5=0_5&y6=0000&n6=0&y7=0000&n7=0 "
（上二つは同じ url です）
・河合塾のHP （下記）
” kyodai.kawai-juku.ac.jp/measures/impression/list7.php "
§２
以下、解答です。
問題文で、n=2 は成り立つ。詳細は省略。
３以上の自然数ｎについて問題文が成り立つことを示す。
そのために、背理法を用いる。
問題文が成り立たないような、３以上の自然数ｎがあると仮定する。さらに、そのような自然数で、最小な自然数をMとする。
自然数Mは次の命題を満たす。
（Katex で 表記）
「すべては0でないM個の実数$${a_{1}，a_{2}，⋯，a_{M}}$$があり，
$${a_{1}≦a_{2}≦⋯≦a_{M} }$$ ,
$${a_{1}+a_{2}+⋯+a_{M}=0 }$$ ,
$${a_{1}+2a_{2}+⋯+Ma_{M}＜＝0}$$
三つの条件全てを満たす。」
さらに、Mの最小性によりM-1個の実数については問題文が成り立つ。即ち、
「すべては0でないM-1個の実数$${t_{1}，t_{2}，⋯，t_{M-1}}$$があり，
$${t_{1}≦t_{2}≦⋯≦t_{M-1} }$$かつ $${t_{1}+t_{2}+⋯+t_{M-1}=0 }$$
を満たすとき
$${t_{1}+2t_{2}+⋯+(M-1)t_{M-1} >0}$$
がなりたつ。」
これを命題Bとする。
$${a_{1}≦a_{2}≦⋯≦a_{M} }$$ かつ $${a_{1}+a_{2}+⋯+a_{M}=0 }$$ より、
$${ a_{M} ＞＝０}$$はすぐわかる。
M-1 個の実数 $${b_{1}，b_{2},・・・,b_{M-1} }$$を次のように定める。
$$
b_1 ＝ a_1 + (1/(M-1))a_{M} \\
b_2 ＝ a_2 + (1/(M-1))a_{M} \\
・・・ \\
b_{M-1} ＝ a_{M-1} + (1/(M-1))a_{M}
$$
これら $${b_1, b_2, ・・・,b_{M-1} }$$ は
$$
\text{条件：} b_1≦b_2≦⋯≦b_{M-1},
b_1+b_2+⋯+b_{M-1}=0
$$
を満たす。
$${ b_1+2b_2+⋯+(M-１)b_{M-1}}$$を計算する。
$${ b_1+2b_2+⋯+(M-1)b_{M-1} }$$
$${ \quad ＝a_{1}+2a_{2}+⋯+(M-1)a_{M-1} }$$
$${\qquad＋(1/(M-1))a_{M} ＋(2/(M-1))a_{M} + ・・・+ ((M-1)/(M-1))a_{M} }$$
$${ \quad ＝(a_{1}+2a_{2}+⋯+(M-1)a_{M-1}) ＋(M(M-1)/2(M-1))a_{M} }$$
$${ \quad ＝(a_{1}+2a_{2}+⋯+(M-1)a_{M-1}) ＋(M/2)a_{M} }$$
$${ \quad ＝(a_{1}+2a_{2}+⋯+(M-1)a_{M-1} ＋Ma_{M}) - (M/2)a_{M} }$$
$${ \quad ＜＝ - (M/2)a_{M} }$$
$${\quad＜＝０}$$
で、命題Bと矛盾する。($${a_{M} >=0}$$ に注意)
問題文が成り立たないような、2以上の自然数ｎは無い。
よって、問題文は、2以上の自然数ｎ全てで成り立つ。
$${\underline{証明終了。}}$$
§３
練習らん
katex 練習$${y = x^{2} ,a_{n} ,a_{1}，a_{2}，⋯，a_{M}}$$
$${\underline{ katex 使用 証明終了。}}$$
$${\underline{ katex 使用 証明終了。}}$$＿＋[タグ]
#数学
#大学入試
#大学入試数学
#過去問
#京都大学
#大学入試問題
#京大
#数学がすき
#受験数学
#大学受験数学
#Katex
#
#