基礎編２６.５ 「偶然３つ以上の分母⑥」一方から１つ・もう一方から２つ取り出す
2022年に２つの県の公立で出題されて、どこかに分類というよりも、一つのパターンとしておいた方がいいと思うので（無理やり挿入して小数点になりますが）独立した項目として掲載しておきます。
右の図のように，袋Ａと袋Ｂの２つの袋がある。袋Ａには１，３の数字が１つずつ書かれた２個の玉が入っており，袋Ｂには１，３，４の数字が１つずつ書かれた３個の玉が入っている。袋Ａからは１個の玉を，袋Ｂからは同時に２個の玉を取り出し，取り出した３個の玉を用いて次のようにして得点を決めることにした。
・取り出した３個の玉に書かれた３つの数がすべて異なるときは，その３つの数の和を得点とする。
・取り出した３個の玉に書かれた３つの数のうち２つの数が同じときは，その２つの数の積と残り１つの数との和を得点とする。
このとき、得点が奇数になる確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
偶然は何回起こっている？
２袋あるので、偶然も２回起こる、と考えてしまいがちですが、分担できる偶然は分担しつくしてしまいましょう。そうすると
●袋Aから取り出す人・・・１人（Aさん）
●袋Bから取り出す人・・・１人１個の玉で分担すれば、２人（B（ビー）さん＆β（ベータ）さん）
のあわせて３人でこの偶然を構成することができます。
偶然３つですから、「同様に確からしい」出来事を数えるには、表ではなく樹形図をかきます。ところが、この樹形図の書き方が曲者。
樹形図をかいてみましょう。まず、Aさんにとって起こる偶然は［１］と［３］の２通り。Bさんにとって起こる偶然は［１］［３］［４］の３通り。Ａさんに起こる偶然は、Ｂさんに起こる偶然に影響を及ぼしませんから、ここまでのところで樹形図をかくと、こんな感じ。
考え方その１
さて、βさんも袋Ｂから取り出します。Ａさんの偶然とは影響しませんが、Ｂさんが取り出した玉はβさんは取り出すことができません。というわけで、この発想で行くと、樹形図はこのようになります。
このように考えると、すべての場合の数は１２になります。
点数を計算してそれが奇数になるのは４通りなので、求める確率は$${\dfrac{4}{12}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$です。
これで終わりでよいのですが・・・
考え方その２
解法の研究がこのnoteの目的ですので、もう少しスマートな方法もある、というのをやります。Ｂさんとβさんは同時に取り出すのでした。Ａさんのことがなければ、こういうことになります。
そうするとＢさんとβさんの取り出す順序は関係なくなりますので、ここはこのような樹形図をシンプルにして考えてもよい、ということになります。（樹形図が部分的にＣ型になる、ということです）
というわけで、それぞれについて点数を計算してみると、すべての場合が６で、そのうち基数の点数になるのは２通りですので、答えは$${\dfrac{2}{6}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$で求めることができます。
考え方１で起こることの２つ分を１つにまとめて考えています。このことがピンとくると、「その１」の方法で求めた確立と同じになるのはわかりますね。
考え方その３
さて、ここからは上級編の考え方になります。ポイントは何か、というと、「同様に確からしいこと」を全部並べること。そのために図や表を使うんでした。
まず袋Ｂで起こることを整理してから、袋Ｂと袋Ａとでの偶然を掛け合わせること、という順番で考えてみましょう。
そうすると、こういう樹形図をかいてもよさそうです。（答えは同じなので省略）
考え方その４
考え方その３で考えた樹形図、もうちょっと考えると、
袋Ｂで取り出すのは〔１－３〕〔１－４〕〔３－４〕の３通り、ということになります。これは袋Ｂ’に〔１－３〕〔１－４〕〔３－４〕と書いた３つの玉が入っていて、その中から１つだけ取り出すことである、と考えてしまってもよいでしょう。
そうすると、袋Ｂ’と袋Ａとで考えればよい、ということであれば、あら、偶然は２つ、ということになりますので表で考えることができます。
以上、ちょっとしつこい感じになりましたが、上級を目指す人であれば、いろんな考え方を引き出しに入れておいてほしい、と考えて、アプローチを並べてみました。数学は自由だ、と言われるのは、答えの近づき方が正しければ、一見近づき方が違っていても、同じところにたどり着く、ということでもあるのです。その”自由さ”を手に入れるためには、いろんな近づき方ができるようにするのがよくて、そのためには、いろいろな近づき方を知っておくとよいわけです。
問題を解いたあとに・・・
で、こっちから１つ、こっちからは２つで、合わせて３つを取り出すというパターンは、（今はなき）大学入試センター試験でも出題されていました。
二つの箱Ａ，Ｂがある．
Ａの箱には，次のように６枚のカードが入っている．
０の数字が書かれたカードが１枚
１の数字が書かれたカードが２枚
２の数字が書かれたカードが３枚
Ｂの箱には，次のように７枚のカードが入っている．
０の数字が書かれたカードが４枚
１の数字が書かれたカードが１枚
２の数字が書かれたカードが２枚
Ａの箱から１枚，Ｂの箱から２枚，あわせて３枚のカードを取り出す．
（１） ３枚のカードに書かれた数がすべて０である確率は$${\dfrac{\fbox{シ}}{\fbox{スセ}}}$$である．
（２） ３枚のカードに書かれた数の積が４である確率$${\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タチ}}}$$である．
（３） ３枚のカードに書かれた数の積が０である確率は$${\dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}}$$である．
（以下略）
表をかく気力さえあれば、上と同じやり方で解けます。表の考えに基づきながら、しかし実際に表をかかずにいろいろ考えられるようになれば、それが大学入試レベル、ということになります。（もちろんガッツで表をかいても可能です） 挑戦したい人には、答えだけ示しておきましょう。
（シ～ナは、それぞれ記号１つに数字が１つ対応していて、マークシートを塗りつぶして解答するという形式です。）
$${\dfrac{\fbox{シ}}{\fbox{スセ}}=\bm{\dfrac{1}{21}}}$$，$${\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タチ}}=\bm{\dfrac{4}{63}}}$$，$${\dfrac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}=\bm{\dfrac{37}{42}}}$$
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