奈良県｜公立高校入試確率問題2021

　花子さんは，ある博物館で入館料の割引キャンペーンが行われることを知り，花子さんを入れて３人グループで訪れた。
　特別割引の日には，入館する子どもにスクラッチカードが配られ，記念品として「クリアファイル」か「ポストカード」のいずれかが必ずプレゼントされる。次の［　　　］内は，スクラッチカードとその説明である。花子さんのグループの子ども３人のうち，少なくとも１人は「クリアファイル」がプレゼントされる確率を求めよ。（改題）

　３つの●には，Ａの記号が１つ，Ｂの記号が２つ隠されています。●を１つだけ削り，Ａが出れば「クリアファイル」，Ｂが出れば「ポストカード」がプレゼントされます。ただし，記号の並び方はカードごとにばらばらです。

樹形図だけど・・・

　偶然は３人が起こします。でも、ちょっとどう図を書けばよいか、迷った人もいるかもしれません。スクラッチをみてしまうと、スクラッチの右側にAがある場合、真ん中にAがある場合、一番右側にAがある場合があって、花子さんと残り２人がどんな順番でひいて、１番目の人にどれを選んで、２番目にどれを選んで，３番目にどれを選んで、・・・と場合を分けるところが多く目についてしまうかもしれません。

　これはスクラッチ、という形に惑わされているところもあります。

　こう考えてみましょう。スクラッチに「A・B1・B2」の３つがそれぞれ１つずつ書いてあってそこから１つ選ぶのは、箱の中にAやB1やB2が入っていて、その箱から１個取り出すのと一緒です。箱の中にAやB1やB2がどのように置かれているかは関係がありません。
　同じように、スクラッチがどのような配置になっているかに関係なく、「Aをひくこと」「B1をひくこと」「B2をひくこと」は同様に確からしいので、玉やカードを箱や袋から取り出すことと同じように考えればよいでしょう。

　順番はどちらにしても「Aをひくこと」「B1をひくこと」「B2をひくこと」は同様に確からしいし、それは１番の人も２番の人も３番の人も同じです。

　混乱していませんか？　結局何が「同様に確からしい」のかがわかれば、樹形図は書けます。グループ３人の名前を、花子さんの他にさくらさんと菊代さんとして、図をかいてみましょう。この３人をこの順番で書きましたが，それぞれのスクラッチの結果は，別の人のスクラッチの結果に全く影響しませんので、スクラッチを削る順番は全く関係ないのです（仲良しグループなら，いっせーの、で同時に削るかも知れませんね）

　そして、「少なくとも１」なので、「じゃない方」を考えてみます。少なくとも１人は「クリアファイル」がプレゼントされるじゃない、のは「３人ともポストカード（Bが出る）」ことを考えればよいのですね。図の×の８通りなので、その確率は$${\dfrac{8}{27}}$$。

　これを１から引くと、求めたい確率が出てきますので、答は$${1-\dfrac{8}{27}=\bm{\dfrac{19}{27}}}$$。

答え

$${\bm{\dfrac{19}{27}}}$$

問題を解いた後で・・・

積の法則を使いたくなる問題

　この問題は、高校まで学習を進めれば、こんな解き方はしないだろうと思います。高校の学習内容のことばを使ってしまうと「独立試行の余事象を使う」典型問題。花子さん・さくらさん・菊代さんがAをひくのがそれぞれ$${\dfrac{1}{3}}$$で、確率の積の法則を使って、答えは$${1-\left( 1-\dfrac{1}{3} \right) ^3}$$で計算させるわけです。
　「同様に確からしい」の束が、たとえばスクラッチのどこにＡがあるか、３人グループの順番など、この問題にはいくつも埋め込んであり，丁寧な子ほど、イチイチ確認をしなければならなくなります。出題する方はたぶん呑気に出題してしまったのかも知れません。そして、もしかしたら積の法則を使うんだよ，ぐらいのイメージでこの問題を出題してしまっていたら・・・ということをちょっと心配してしまいますし、出題者の意図はそうでなかったとしても、多くの指導者はその方法で解くんだよ、と指導してしまいそうな問題かな、と思います。
　そういう意味では、中学レベルで出す入試問題としては、あまりこなれていないような気がします。