神奈川県｜公立高校入試確率問題2023

　右の図１のように，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒがあり，場所Ｐには，１，２，３，４，５，６の数が１つずつ書かれた６個の直方体のプロックが，書かれた数の大きいものから順に，下から上に向かって積まれている。
　大，小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を$${a}$$，小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒの３か所にあるブロックの個数について考える。

【操作１】　$${a}$$と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，順番を変えずに場所Ｑへ移動する。
【採作２】　$${b}$$と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，$${b}$$と同じ数の書かれたブロックが場所Ｐ，場所Ｑのどちらにある場合も，場所Ｒへ移動する。

例
　大きいさいころの出た目の数が５，小さいさいころの出た目の数が１のとき，$${a}$$＝５，$${b}$$＝１だから，
【操作１】　図１の，５が書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，順番を変えずに場所Ｑへ移動するので，図２のようになる。
【操作２】　図２の，１が書かれたブロックを，場所Ｒへ移動するので，図３のようになる。
　この結果，３か所にあるプロックの個数は，場所Ｐに１個，場所Ｑに４個，場所Ｒに１個となる。

　いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（ア）ブロックの個数が３か所とも同じになる確率を求めなさい。

（イ）　３か所のうち，少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる確率を求めなさい。

分類　応用❻ 並べる

…ということは？　で条件から迎えに行く

（ア）

　「ブロックの個数が３か所とも同じになる」ということは、ＰにもＱにもＲにも「ブロックが２個ずつ」ということです。Ｐから出て行ったブロックは戻ってくることはないので、最後に２個残るように考えます。
　（１回目のさいころの目，２回目のさいころの目）で表すとすると、（２，４）と（４，２）の２通りということになります。

　さいころのすべての目の組は３６通りですので、その確率は$${\dfrac{2}{36}=\bm{\dfrac{1}{18}}}$$と求めることができます。

（イ）

　「３か所のうち，少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる」ということは、「場所Ｐのブロックが０個」か「場所Ｑのブロックが０個」か「場所Ｒのブロックが０個」のいずれかです。

（１）場所Ｐのブロックが０個、ということは・・・
　大きいさいころでも小さいさいころでもどちらかで６の目が出れば、Ｐから６の目より上のブロックが動かされて、場所Ｐのブロックが０個になります。（表の△印）
（２）場所Ｑのブロックが０個、ということは・・・
　【操作１】で場所Ｑには何個か移動してきますので、それが全部【操作２】で場所Ｒに移動されればＯＫです。ということは、大きいさいころで出る目と小さいさいころで出る目が同じになる、ということです。（図の☆印）
（３）場所Ｑのブロックが０個、ということは・・・
　場所Ｒには【操作２】で何個か移動してきますので、場所Ｒが０個になるということはあり得ません。

　というわけで、すべての場合の数は１６通り。その確率は$${\dfrac{16}{36}=\bm{\dfrac{4}{9}}}$$です。

答

（ア）$${\bm{\dfrac{1}{18}}}$$　　（イ）$${\bm{\dfrac{4}{9}}}$$

問題を解いた後に・・・

　これはさすがに表をかいて、３６通りに対して一つ一つ確かめに行く、というやり方ではつらいでしょう。そういう意味では、難易度が高い問題、と分類できます。

【研究】「少なくとも１」ってあるけれど

　（イ）の問題は「３か所のうち，少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる」というのが条件でしたね。あ、「少なくとも１」の場合、じゃない方を考えるサインというのが、解き方のポイントでしたね。

　ところが、「３か所のうち，少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる」じゃない、ということを考えると、「３か所すべてに少なくとも１つのブロックがある」ということになります。
　あれ？やっぱり「少なくとも１」が出てきてしまいます。
　この問題では「じゃない方」も少なくとも１が出てきてしまいます。どちらが楽か、というと、結局ブロックの個数が０の条件で処理をした方が楽だと思います。