沖縄県｜公立高校入試確率問題2015

　袋Ａには１から４の数字が１つずつ書かれた４個の球が入っており，袋Ｂには１から６の数字が１つずつ書かれた６個の球が入っている。Ａ，Ｂの袋から，それぞれ１個ずつ球を取り出し，球の番号を確認する。

　このとき，次の各問いに答えなさい。
　ただし，袋Ａ，Ｂの中は見えないものとし，球の取り出し方は，それぞれ同様に確からしいものとする。
問１　球の取り出し方は全部で何通りあるか求めなさい。
問２　次に，袋Ａから取り出した球の番号を$${x}$$，袋Ｂから取り出した球の番号を$${y}$$とし，その$${x}$$，$${y}$$の値の組を座標とする点Ｐについて考える。例えば，袋Ａから取り出した球の番号が１，袋Ｂから取り出した球の番号が２の場合は，点（１，２）を表すものとする。
　このとき，次の（１），（２）に答えなさい。
（１）点Ｐと原点との距離が５となるのは全部で何通りあるか求めなさい。
（２）点Ｐと原点との距離が５以上となる確率を求めなさい。

分類：融合《Ｄ２》座標平面上の図形-２点の距離

起こりうるすべての場合は

　偶然は２つ起こりますので表で考えることにしましょう。袋Ａで起こる偶然と袋Ｂで起こる偶然は、お互いに影響をしませんので、表はこのままになります。

　ですから、起こりうるすべての場合は表のマス目の総数２４通りで、その場合が起こることも同様に起こることが確からしいです。

問２のアプローチ１　計算する

　（１）は表で$${x^2+y^2}$$を計算して、ちょうど２５になるところ、（２）は２５以上になるところを数えればよいです。
　問１でつくった表の各マスに$${x^2+y^2}$$を書き入れます。なお、$${y}$$＝５と$${y}$$＝６のときは$${x^2+y^2}$$は必ず２５より大きくなりますので、特に計算しなくてもよいでしょう。
　というわけで、（１）は表の〇印の点（３，４）と点（４，３）の２通り、（２）は表の〇印と✔印のあわせて１１通りですので、求める確率は$${\bm{\dfrac{11}{24}}}$$。

アプローチ２　座標平面にコンパスで

　点Ｐと原点との距離が５となるのは・・・と思ったら、作図のためにコンパスがあるではありませんか。問題用紙の座標平面上に、コンパスで原点を中心とする半径５の円をかいてしまいましょう。

　ちょうど距離が５になるのは点（３，４）と点（４，３）の２通り。５以上となるのは印をつけた１１通りですから、確率は$${\bm{\dfrac{11}{24}}}$$と求めることができます。
　コンパスで考えるときは、念のために計算で誤差がないかどうか、確認をしておきましょうね。

答

問１　２４通り
問２　（１）　２通り　　（２）　$${\dfrac{11}{24}}$$