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基礎編24.5【研究】プレゼント交換の確率
A,B,C,Dの4人がプレゼントを一つずつ持ちより,交換会を開く。プレゼントはすべて異なるものとし,A,B,C,Dの4人が用意したプレゼントをそれぞれa,b,c,dとする。交換の方法は,外見が同じギフト箱を4人分用意し,各箱にプレゼントを一つずつ入れたうえで,よく混ぜて4人に箱を一つずつ配り,4人は配られた箱の中のプレゼントを受け取る。交換の結果によっては自分が用意したプレゼントを受け取ることもある。
このとき,次の各問いに答えなさい。
ただし,ギフト箱の配り方は,同様に確からしいものとする。(沖縄県2024)
問1 プレゼントの受け取り方は全部で何通りあるか答えなさい。
問2 Aさんがaではないプレゼントを受け取る確率を求めなさい。
問3 A,B,C,Dの4人全員が,自分で用意したプレゼントを受け取らない確率を求めなさい。
4人でプレゼント交換
偶然はA,B,C,Dの4人に起こりますから,樹形図をかいて考えることにします。
![](https://assets.st-note.com/img/1713037219380-ogKwKU3UOR.png?width=1200)
ですから,プレゼントの受け取り方は全部で24通りとなります。
まあ,Aさんがaが当たる6通りのところで,後3つ,と考えれば24通り,と計算もできますが,この後の問題では,ぜんぶの樹形図がやっぱりほしくなるので,すべての場合をかいておきます。
自分のプレゼントは欲しくない
こういうプレゼント交換をするとき,一番避けたいのは,自分の用意したプレゼントが結局自分に回ってきてしまうことではないでしょうか?(自分の欲しいものを買っておいて,他人に当たったら,しれっと「それとこれ交換しない?」ってゲットしてしまう猛者も知っていますが。)
自分がAさんだったとして,自分のプレゼントaが当たってしまう場合は,さっきの樹形図で6通り。
![](https://assets.st-note.com/img/1713037219123-FitHMfTLrh.png)
aが当たらない場合は18通りですから,その確率は$${\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}}$$。そこそこの確率で自分のもってきたプレゼントが自分に当たるわけです。
みんな自分のプレゼントは欲しくない
では,BさんもCさんもDさんも,みんな自分で持ってきたやつじゃないのが当たる確率はどのくらいでしょうか。
やはりさっきの樹形図で数えてみると,当てはまるのは
![](https://assets.st-note.com/img/1713037219306-Y7heOvDEqE.png)
9通りです。ですから,求める確率は$${\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}}$$。思ったよりは,ばらばらにあたるような気がしますが,皆さんはどうですか?
答
(1) 24通り (2)$${\bm{\dfrac{3}{4}}}$$ (3)$${\bm{\dfrac{3}{8}}}$$
(問2)もう少しスピードアップするために
自分がAさんだったとして,自分のプレゼントaが当たらない場合ですが,もう少しあっさり考えることにします。
最初に自分(Aさん)が4つのプレゼントのうち自分の用意したプレゼントaをふくむ4つのうちから1つ配られます。自分の受け取ったプレゼントが自分のものかどうかだけを考えてしまえば,自分のものではないのは4つのうち3つ,ということで確率$${\dfrac{3}{4}}$$と考えてしまえば,手っ取り早いですね。このとき,ほかの人がどのプレゼントをもらおうが気にすることはないのです。
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