融合問題編《Ｃ２》座標・関数-２直線の交点

　右の図のように，箱Ａには１から３，箱Ｂには１から６の数字が書かれたカードが１枚ずつ入っている。箱Ａからカードを１枚取り出し，そのカードの数字を$${a}$$，箱Ｂからカードを１枚取り出し，そのカードの数字を$${b}$$とする。この$${a}$$，$${b}$$を使って，２つの方程式$${y＝ax＋a}$$と$${y＝b}$$のグラフをかき，その２直線の交点の座標を考える。
　このとき，次の問いに答えよ。ただし，箱Ａからのカードの取り出し方は，同様に確からしいとする。また，箱Ｂからのカードの取り出し方も，同様に確からしいとする。
（１）　箱Ａから３，箱Ｂから２のカードを取り出したときの交点の座標を求めよ。
（２）　交点の$${x}$$座標，$${y}$$座標が両方とも整数となる確率を求めよ。

福井県2018

（１）

　問題の意味が分かっているかどうか、たしかめる問題といえるでしょう。$${y＝ax＋a}$$と$${y＝b}$$に、$${a=3,b=2}$$を代入して、連立方程式
$${y=3x+3,y=2}$$を解くと、
$${x=-\dfrac {1}{3},y=2}$$
　答えは$${\left( -\dfrac {1}{3},2 \right)}$$

（２）

　表の書き方は→基礎編１７

$${y}$$座標は整数なので、$${x}$$が整数であればよい。

分母は3×６＝18、分子が上の色を塗った11通りなので、
答え$${\dfrac{11}{18} }$$

問題を解いたあとに・・・

$${y＝ax＋a}$$に$${y＝b}$$を代入して、$${b＝ax＋a}$$を変形すると、
$${ax = -a+b}$$
$${x = -1+\dfrac{b}{a} }$$
なので、$${\dfrac{b}{a} }$$が整数、つまりｂがａの倍数であるところ、ということになります。

類題

福井県２０１８