福岡県｜公立高校入試確率問題2024

　袋の中に，赤玉１個と白玉３個が入っており，この袋から玉を取り出す。
　ただし，どの玉を取り出すことも同様に確からしいとする。
　次の（１），（２）に答えよ。
（１）玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどしもう一度，玉を１個取り出す。
　取り出した２個の玉のうち，少なくとも１個は白玉が出る確率を求めよ。
（２）Ａさんが玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどさず，続けてＢさんが玉を１個取り出す。
　このとき，Ａさんの白玉の出やすさとＢさんの白玉の出やすさに違いがあるかを説明せよ。
　説明する際は，樹形図または表を示すこと。

分類：（１）２８　【研究】少なくとも１つ起こる確率
　　　（２）１４　取り出して、戻さずもう１回

（１）「少なくとも」は「じゃない方」のサイン

　袋の中に白玉３個が入っています。同様に確からしいことがらを並べるために，この３つに①，②，③と区別をつけることにします。赤玉を●で表すことにして，表をかきましょう。取り出したあと戻してもう一度ですから，●→●とか②→②と同じ玉を取り出すことができますので，表の対角線にあるマスも残します。

　条件は「少なくとも１個は白玉」と書いてあります。「少なくとも」は「じゃない方」を考えた方が早いかも，というサインです。

　「少なくとも１個は白玉じゃない」は「２個とも赤玉」です。

　「２個とも赤玉」はただ１通りですので，その確率は　$${\dfrac{1}{16}}$$。ですから「２個とも赤玉じゃない」つまり「少なくとも１つは白球」の確率は　$${1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}}$$　と求めることができます。

（２）取り出し方が変わると表も変わる

　（１）と（２）では，２回玉を取り出しますが，取り出し方が異なることに注意しましょう。（２）は取り出した玉は元に戻しませんので，●→●とか②→②と同じ玉を取り出すことができません。表の対角線にあるマスは実現しませんので消します。

　起こりうるすべての場合は，各マスにたいおうしていますので，その数は１２通りです。
　そのうち，Ａさんが白玉を取り出す場合のマスに〇印，Ｂさんが白玉を取り出す場合のマスに✓印をつけて，それぞれの場合の数を数えます。

　いずれも９通りですから，その確率は両方とも$${\dfrac{9}{12}=\bm{\dfrac{3}{4}}}$$ということになり，確率は等しいです。確率が等しいということは，Ａさん・Ｂさん２人の白玉の出しやすさは同じ，ということになります。

答

（１）　$${\bm{\dfrac{15}{16}}}$$　　　
（２）　赤玉を●，白玉を①，②，③とあらわして，起こりうる場合を表にして考えると，上の表のようになり，すべての場合の数は１２通りである。
　Ａさんが白玉を出す場合はこの表の✓印をつけたところで９通り。Ｂさんが白玉を出す場合はこの表の〇印をつけたところで９通りで，それぞれの確率を求めるとどちらも$${\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}}$$であり，２人の白玉の出やすさに違いはない。