高知県｜公立高校入試確率問題2019

　下の図のように，さいころの１から６までの目が１つずつ表示された６つの箱がある。それぞれの箱の中には，表示されたさいころの目と同じ数の玉が入っている。大小２つのさいころを同時に１回投げ，それぞれのさいころの出た目の数によって，箱の中の玉を移動させる。このとき，下の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

(1)　大きいさいころの出た目と同じ目が表示された箱から玉を１個だけ取り出す。その取り出した１個の玉を，小さいさいころの出た目と同じ目が表示された箱に入れる。このとき，次の①・②の問いに答えよ。
①　空の箱ができる確率を求めよ。
②　６つの箱のうち，入っている玉の数が同じ箱が３つできる確率を求めよ。
(2)　大きいさいころの出た目と同じ目が表示された箱から玉をすべて取り出す。その取り出したすべての玉を，小さいさいころの出た目と同じ目が表示された箱に入れる。このとき，６つの箱のうち，入っている玉の数が同じ箱が２つできる確率を求めよ。

分類：応用〈７〉やりとりする（ゼロサム）

（1）は、‥という事はどういう事？の問題

　この問題のアプローチとしては、２つ考えられます。一つは、大小2つのさいころによって起こる３６通りについて、それぞれの結果を調べて網羅した上で、そこから条件に合う場合をチェックしていく方法。他の問題では，だいたい、この方式で表をかいちゃおう！と進めてきました。
　ところが、この方針で表をかこうとすると、例えばこんな感じになってしまいます。

　ウ～ン、さすがにこれはちょっと・・・？

　作戦のもう一つは、その条件はどんなサイコロの目が出れば実現するのか、と読み替えて列挙する方法。条件から迎えに行く、とこのnoteでは表現しています。

　問題文の状況が起こるのは、どういうサイコロの目が出るときか、条件を読み替えることができるかどうかを試す問題とも言えます。

①は，ちょっと立ち止まって考えて。

　①は、さっそく早とちりしそうな問題です。「大きいさいころで１の目が出れば、１個取り出すので１の箱は空になるので、大きなさいころで１の目が出る確率を求めればいい」・・・で、$${\dfrac{1}{6}}$$と求めると「うまくひっかかった」ということになります。小さいさいころでも１の目が出てしまったら、せっかくからになった箱に，結局玉が戻ってきます。
　というわけで、空の箱ができるのは、大きなさいころで１の目が出て、かつ、小さいさいころで１の目が出ない場合、つまり（大，小）の形で書くと、（１，２）（１，３）（１，４）（１，５）（１，６）の５通り、ということになります。その確率は$${\bm{\dfrac{5}{36}}}$$

②は・・・

　実は，大きなさいころの目からちょうど２小さい数が小さいさいころの目であるときに、入っている玉の数が同じ箱が３つできます。（６，４）（５，３）（４，２）（３，１）の４通りです。このことに気づくと早い。
　その確率は、$${\dfrac{4}{36}=\bm{\dfrac{1}{9}}}$$ということになります。

（２）は１つ１つ考えてみましょう。

　大きいさいころで１の目が出るとき、２の目が出るとき・・・で考えてみることにします。
●大きいさいころで１の目が出るとき
　小さいさいころで２の目が出ると、３個の箱が２つできる
　小さいさいころで３の目が出ると、４個の箱が２つできる
　小さいさいころで４の目が出ると、５個の箱が２つできる
　小さいさいころで５の目が出ると、６個の箱が２つできる
●大きいさいころで２の目が出るとき
　小さいさいころで１の目が出ると、３個の箱が２つできる
　小さいさいころで３の目が出ると、５個の箱が２つできる
　小さいさいころで４の目が出ると、６個の箱が２つできる
●大きいさいころで３の目が出るとき
　小さいさいころで１の目が出ると、４個の箱が２つできる
　小さいさいころで２の目が出ると、５個の箱が２つできる
●大きいさいころで４の目が出るとき
　小さいさいころで１の目が出ると、５個の箱が２つできる
　小さいさいころで２の目が出ると、６個の箱が２つできる
●大きいさいころで５の目が出るとき
　小さいさいころで１の目が出ると、６個の箱が２つできる

　全部で１２通りありますので、その確率は$${\dfrac{12}{36}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$

答

（１）①$${\bm{\dfrac{5}{36}}}$$　②$${\bm{\dfrac{1}{9}}}$$　（２）$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$