京都府中期｜公立高校入試確率問題2024

　赤玉が２個，白玉が２個，黒玉が１個の合計５個の玉が入っている袋がある。この袋から玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどさずに，玉をもう１個取り出す。このとき，取り出した２個の玉の色が異なる確率を求めよ。ただし，袋に入っているどの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

分類：３０.５　【研究】取り出して，戻さずもう１回。だけど取り出す順序は実は関係ない

表で考えてみます。

　赤玉２個に区別がつくように１，２の番号をつけます。白玉２個にも同様に③と④，黒球に［５］の番号をつけて，表をかきます。

　起こりうるすべての場合は２０通り。このうち，取り出した２個の玉の色が異なるのは

　１６通りありますので，その確率を求めると，$${\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}}$$です。

スピードアップのために

　問題文に沿って素直に解いてみたのですが，実はもう少しスピードアップできます。

　１回目に１の玉，２回目に２の玉をとりだすことを（１，２）と書くことにすると，判断基準は１回目・２回目に取り出したものの色が異なるということでしたので，その順番を変えても，同じことです。
　つまり（１，２）・（２，１）をひとまとめにして改めて｛１，２｝と書くことにすると，（１，③）と（③，１）をひとまとめで｛１，③｝，同じように｛１，④｝，｛１，[５]｝，｛２，③｝，｛２，④｝，｛２，[５]｝，｛③，④｝，｛③，[５]｝，｛④，[５]｝をひとまとめにすると，これら１０のことがらが起こることは，「同様に確からしい」ことがらになります。
　つまり，２個同時に取り出すときと同じに考えることができます。

　このように考えると，起こりうるすべての場合は１０通りで，そのうち条件を満たすのは，８通りですから，求める確率は$${\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}}$$。確率はもちろん上の考え方で求めたものと同じになります。

もっとスピードアップのために

　ここまで思いついたら上級者だと思うのですが、「２個の玉の色が異なる」じゃない場合、つまり「２個の玉の色が同じ」場合を考えると、もっと早いですね。表を書くまでもなく、１と２、③と④の２通りしかありません。全部の場合の数から引き算して当てはまる場合の数を求めるのもいいですし、「じゃない方」の確率を求めて$${\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}}$$、１から引いてもいいですね。
　まあ、思いついたらの結果論ですかね。

答

$${\bm{\dfrac{4}{5}}}$$

たぶん，いろんなところには樹形図で書いてあるので。

　このnoteのシリーズでは，偶然が２つあるなら，それは表で考える，というやり方をしていますが，樹形図をかいて考えてもいいでしょう，というか，教科書はそうしているし，多くの解答の紹介にもそう書いてあることと思います。

　樹形図の嫌いなところは，図そのものがグチャっとしちゃうところです。そして，さっきの考えで行くと，｛①，②｝と｛②，①｝をひとまとめにして，「同様に確からしい」ことがらにしてよいとすると，樹形図は次のようになります。

　これが思いつかないと，樹形図が２倍になります。