宮城県｜公立高校入試確率問題2023

　数学の授業で，生徒たちが，直線$${y=x}$$のと三角形を素材にした応用問題を考えることになりました。
　次の問いに答えなさい。（改題：確率に関係ない部分を削除）

　京子さんと和真さんは，確率を求める問題をつくろうとしています。２人は，図Ⅰのような，１，２，３，４の数字が１つずつ書かれた４枚のカードが入った袋を使い，次の【操作】をすることを考え，それをもとに，□の会話をしています。
　あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

【操作】
・袋の中のカードをよくかき混ぜて，カードを１枚取り出し，カードに書かれた数を確認してからもとにもどす。この作業を２回行う。
・１回目に取り出したカードに書かれた数を$${a}$$として，直線$${y=x}$$の上に（$${a,a}$$）となる点Ｐをとる。
・２回目に取り出したカードに書かれた数を$${b}$$として，$${x}$$軸上に（$${b}$$，０）となる点Ｑをとる。
・原点Ｏ，点Ｐ，点Ｑをそれぞれ結んで，△ＯＰＱをつくる。

京子さん：この【操作】をすると，取り出すカードによって，さまざまな形の△ＯＰＱができるね。
和真さん：たとえば，取り出したカードに書かれた数が，１回目が２で，２回目が３のときの△ＯＰＱは図Ⅱのようになるよ。他の場合もやってみよう。
京子さん：すべての場合をかいたけれど，この中に，合同な三角形の組はないようだね。つまり，【操作】にしたがって△ＯＰＱをつくるとき，△ＯＰＱは全部で［　①　］通りあるね。
和真さん：△ＯＰＱが直角三角形になる場合があったよ。この確率を求める問題にしよう。

（１）［　①　］にあてはまる正しい数を答えなさい。

（２）【操作】にしたがって△ＯＰＱをつくるとき，△ＯＰＱが直角三角形になる確率を求めなさい。

分類　融合《Ｄ３》座標平面上の図形-角度

①は・・・？

　京子さんの「すべての場合をかいたけれど，この中に，合同な三角形の組はない」というのはちゃんと注目してよいと思います。つまり、考えられる組はすべて数えてよい、ということです。
　とりあえず表をかいてみましょう。カードは元に戻しますので、表はいじらないX型。

　全部で１６通りということです。

②も表？

　京子さんのようにすべての場合、１６通りの△ＯＰＱをかいてみましょう。

　△ＯＰＱについて、直角が右下に来るパターンと、いちばん上に来るパターンの２種類があるのに気をつけます。６通りあるので、$${\dfrac{6}{16}=\bm{\dfrac{3}{8}}}$$
　どういうときに直角三角形になるのかから、どの組が成り立つのか、という「迎えに行く」考え方をしてもよいですが、ぐちゃぐちゃ考えているより１６通り全部をかき出したほうが早いような気がします。（これがさいころ２つで３６通りだったら、条件から考えた方がいいと思います）

答

（１）　16（通り）　（２）　$${\bm{\dfrac{3}{8}}}$$