準直既約の性質と例

今回はすぐに帰結する準直既約に関する簡単な一般的性質を少しみよう。次に可換環の場合の話に移り、合同束がイデアル全体が成す束に対応することを確認しよう。今回の定理としては、準直既約な被約環（０以外にベキ零元を持たない可換環）のとき、体となることを証明しよう。従って、特に準直既約な整域は体である。

なお、諸々の用語・記号は前回等と引き続き用いることにする：

１．諸命題

【命題１】
代数系Ａが準直既約であるとき
　θ∩ψ＝Δ　⇒　θ＝Δ　または　ψ＝Δ　（θ，ψ∈Con(Ａ)）
である。

【証明】
Ａ上の２つの合同関係θ，ψ∈Con(Ａ)について
　　θ∩ψ＝Δ
とする。代数系Ａの準直既約性から、
　Con(Ａ)－{Δ}
に最小元がある。よって合同関係θ，ψが共にΔより真に大きいのであれば
　θ∩ψ∈Con(Ａ)－{Δ}
でありθ∩ψ＝Δに反する。■

【定義（単純）】
代数系Ａが、その合同束Con(Ａ)が
　Δ，∇　
の２元で構成されているとき、Ａは単純（simple）であるという。

【命題２】
単純代数は準直既約である。

【証明】
∇がCon(Ａ)－{Δ}の最小元であるから、前回の定理から準直既約である。■

【定義（極大）】
代数系Ａの合同関係θが、Con(Ａ)－{∇}に関して極大なもの、つまり
　ψ∈Con(Ａ)，θ⊂ψ　⇒　ψ＝∇
であるとき、合同関係θを極大であるという。

【命題３】
Ａを代数系とする。次の２条件は同値である：
　（Ⅰ）Ａ上の合同関係θが極大である
　（Ⅱ）商代数Ａ／θは単純である。

【証明】
　　　合同関係θが極大である。
　⇔　Con(Ａ；⊃θ)＝{θ，∇}　かつ　θ⊊∇
　⇔　Con(Ａ／θ)＝{Δ，∇}　かつ　Δ⊊∇
　　　（∵第２同型定理（合同束））
　⇔　商代数Ａ／θは単純である。■

【系】
　極大な合同関係による商代数は準直既約である。

【証明】
　命題３（Ⅰ）⇒（Ⅱ）と、命題２より。■

例えば群では極大な正規部分群が、環では極大イデアルが、Ｒ加群では極大部分加群が、特に有限次元線形空間では次元が１つ小さい部分空間が、上で定義した「極大な合同関係」であり、それぞれでの商代数がそれぞれの意味での「単純代数」になる。ゆえに準直既約である。

２．可換環におけるイデアルの全体が成す束

さて、環の合同関係は両側イデアルに１：１対応することは以前に見た：

可換環であれば両側イデアルは、左右の作用の区別がつかないから単にイデアルという。

ここで可換環は乗法の単位元１を仮定する。また、加法の零元は０と書く。零環＝{０}（１＝０となる環）は元が１点の代数系だから準直既約である。以下では零環を除いた可換環を考えることにする。

可換環Ｒの合同束から、Ｒのイデアルの全体Ｉ(Ｒ)の包含関係による束が１：１対応する。この対応Con(Ａ)↔Ｉ(Ｒ)により
（最大元）　　∇　　↔　Ｒ
（最小元）　　Δ　　↔　{０}（＝０と書く）
（上限）　　⋁θ[γ]　↔　∑Ａ[γ]　，（ただし　θ[γ]　↔　Ａ[γ]）
（下限）　　⋂θ[γ]　↔　⋂Ａ[γ]　，（ただし　θ[γ]　↔　Ａ[γ]）
となる。

ここで、∑Ａ[γ]とは
　　　∑Ａ[γ]　
　＝（⋃Ａ[γ]で生成されるＲのイデアル）
　＝（⋃Ａ[γ]を含む最小のＲのイデアル）
　＝⋂Ｂ　（⋂はＢ⊃⋃Ａ[γ]となるＲのイデアルＢ全体を動く）
である。

体は可換環であって、０以外の任意の元が乗法の逆元をもつものであった。体は０と自分自身以外にイデアルを持たない。実際、Ｉを任意の０でないイデアルとするとａ∈Ｉはａ≠０ゆえ、ａは可逆元である。可逆元を含むイデアルであるから、全体となる。

そして０と全体しかイデアルを持たないということは、合同束でいうと
　Δ（最小元），∇（最大元）
の２点のみからなるから単純である。従って、上の命題２より準積既約である。

この逆はそのままでは成り立たない。

【定義（ベキ零元）】
可換環の元ｘがベキ零元（nilpotent element）であるとは、
　ｘ^n＝０
となる正整数ｎが存在するときにいう。

明らかに０はベキ零元である。

さて、「０以外のベキ零元を持たない」という条件を加えれば逆が言える。

【定義（被約環）】
０以外にのベキ零元を持たない可換環を被約環（reduced ring）という。

３．定理と証明

【定理】
準直既約な被約環は体である。

【証明】
Ｒを準直既約な被約環とする。

準直既約性から０以外のＲのイデアル全体が成す束
　Ｉ(Ｒ)－{０}
に最小元Ｊがある。

任意の０≠ａ∈Ｊとし、
　(０：ａ)＝{ｘ∈Ｒ｜ａｘ＝０}
とおく。これは環準同型ｘ↦ａｘの核であるからＲのイデアルである。

このとき、
　(０：ａ)⋂Ｊ＝０
である。

実際、イデアル(０：ａ)⋂Ｊ⊋０であれば
　０⊊(０：ａ)⋂Ｊ⊂Ｊ
で、Ｊの最小性から
　(０：ａ)⋂Ｊ＝Ｊ
となる。よって
　ａ∈Ｊ＝(０：ａ)⋂Ｊ
を考えれば、
　ａａ＝０
となり、Ｒが被約環であることに反する。

これよりＲの準積既約性から命題１により
　(０：ａ)＝０　または　Ｊ＝０
となるが、Ｊ≠０だから
　(０：ａ)＝０　･･･①
である。

一方、再び０≠ａ∈Ｊを任意に取る。Ｊはイデアルより
　ａＪ⊂Ｊ
である。Ｒは被約環だから、
　０≠ａａ∈ａＪ
である。従って、
　０≠ａＪ⊂Ｊ
であって、Ｊの最小性から
　ａＪ＝Ｊ　（ａ∈Ｊ）　･･･②
であることが分かる。

よって②より、任意の０≠ａ∈Ｊに対して
　Ｊ＝Ｊａ＝Ｊａ^2
であり、これより
　ａ＝ａ^2ｂ
となるｂ∈Ｊがあるから
　ａ(１－ａｂ)＝０
となる。

よって①により
　１－ａｂ∈(０：ａ)＝０
ゆえ、
　ａｂ＝１
つまり、ａは可逆元であり、Ｊ＝Ｒである。

ＪはＲの０を除く最小のイデアルであったから、これよりＲの任意のイデアルＩは自明なものに限る：
　Ｉ＝０　または　Ｉ＝Ｒ

よって、Ｒは体である。■

４．系

【定義】
可換環の元ａが、あるｘ≠０となる元ｘがあって
　ａｘ＝０
となるとき、元ａを零因子（zero divisor）という。

【定義】
可換環Ｒが０以外の零因子を持たないとき、Ｒは整域（integral domain）であるという。

【系】
準直既約な整域は体である。

【証明】
整域は０以外のベキ零元をもたないから定理に従う。■

５．参考文献

今回と前回の定理については以下の文献を参考にした：
[1] Garrett Birkhoff ，1944，Subdirect unions in universal algebra ，Bull. Amer. Math. Soc. 50，764–768

６．本連載を通して

こうして合同束を通して普遍代数学の理論が進んでいくところをみたので、この辺りで本連載は一区切り付けようと思う。

私的感想であるが、それぞれの代数分野で現れる諸概念に横串が通るのは心地よくて面白い。まさに束論は気持ちも束ねてくれる。

なお本連載としての「タイトル」をずっと保留していたので、マガジンには
　『合同束でみる代数学のはなし』
として題して記録しておこう。
（2020/7/24）