数学オリンピック予選の問題を解説してみる②

用事があったためまた更新が遅れました…すみません…

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マロ: と、言うことで前回の続きです。

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第3問

一辺の長さが3である正三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点D,E,Fがあり、
$${BD=1,\angle ADE=\angle DEF=60°}$$をみたしている．このとき、線分APの長さを求めよ。
ただし,XYで線分XYの長さを表すものとする。

第３問

まあ、まずは条件を図に書き込むことから始めるよね。それと、こんな感じの正三角形の問題なら相似を見つけるのが定番な気かな。

そしたら、
$${\vartriangle ABD\thicksim\vartriangle DCE(二角相当)\cdots①}$$
$${\vartriangle DCE\thicksim\vartriangle EAF(二角相当)\cdots②}$$
って言えて、

そしたら$${AB=3,BD=1,DC=2}$$だから①より相似比を使って
$${AB:DC=BD:CE}$$
$${3:2=1:CE \hspace{10pt} \therefore CE=\displaystyle\frac{2}{3}}$$

よって$${EA=3-CE=\displaystyle\frac{7}{3}}$$

そしたら、②より相似比を使って
$${DC:EA=CE:AF}$$
$${2:\displaystyle\frac{7}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}:AF}$$
$${AF=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{7}{3}\times\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{7}{9}}$$

って感じかな。このレベルなら高校入試とかでもあり得そうなレベルだから取るべき問題だね。まあなんか図の真ん中らへんがすこし入り組んでて身構えちゃうかもしれないけどまだ3問目だから気楽にいけば大丈夫！

第4問

正の実数$${x,y}$$に対し、正の実数$${x\star y}$$を$${x\star y=\frac{x}{xy+1}}$$で定める。このとき、$${(((\cdots(((100\star99)\star98)\star97)\star\cdots)\star3)\star2)\star1}$$
を計算せよ。ただし、解答は$${\star}$$を用いず数値で答えること。

とりあえず$${100\star99}$$を計算してみてから考えようかな。

$${100\star99}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times99+1}}$$

まあ特にこれと言って何も言えないから次は$${(100\star99)\star98}$$を計算してみようかな。

$${(100\star99)\star98}$$
$${=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{100}{100\times99+1}}{\displaystyle\frac{100}{100\times99+1}\times98+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times98+100\times99+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times(99+98)+1}}$$

お、ここで少し規則性がありそうに見えるから念のため$${((100\star99)\star98)\star97}$$も計算してみよう！

$${((100\star99)\star98)\star97}$$
$${=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{100}{100\times(99+98)+1}}{\displaystyle\frac{100}{100\times(99+98)+1}\times97+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{\displaystyle\frac{100}{100\times97+100\times(99+98)+1}}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times(99+98+97)+1}}$$

これはもうわかったね！右に$${\star}$$がつけば、その$${\star}$$の右側の数字が分母のかっこの中に入っていってるね！

て言うことは、
$${(((\cdots(((100\star99)\star98)\star97)\star\cdots)\star3)\star2)\star1}$$を計算すると、1から100までの和は$${\displaystyle\frac{101\times100}{2}=5050}$$だから、

$${(((\cdots(((100\star99)\star98)\star97)\star\cdots)\star3)\star2)\star1}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times(99+98+97+\cdots+3+2+1)+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{100\times4950+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{495000+1}}$$
$${=\displaystyle\frac{100}{495001}}$$

って感じで解いたよ!これも第一印象はめんどくさそうって感じるかもだけどこんな風の問題はほぼ確実に簡単に解ける方法があるからとりあえずそれを見つけるまでは地道に計算していくのがいいね。これも私立の高校入試とかで意地悪な問題として出そう(笑)

まとめ

今回はこれでおしまい!前回のと比べたら少しは難しくなってるけど、3問目、4問目って考えたらこれまでの中でだいぶ簡単な方かも？今回の問題もって言うか全部通して言えることだけどやっぱり手を動かすことが大事だね！見た目に怖気付かないでとりあえず動かした方がいい!

最後に

マロ：この二問はこんな感じで解いてみたけど今年はほかの年と比べて問題番号にしたら簡単だったかな？

ミケ：4問目が見た瞬間だとビビっちゃって後回しにしちゃいそうだな（笑）

マロ：マロもちょっとめんどくさそうだなって思ったけど少し手に付けてみたらそこまで難しくなかったからこの問題は手を動かす必要性を感じたかな

ミケ：よし、次の問題の解説お願い！

マロ：いいよ～、じゃあ第5問はね～…

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今回はここまでです。次回のマロの記事で第5，6問目の解説を行います。ちなみに今日行われている数学オリンピック本選の問題に関しては実力不足のため解説できません。今年勉強して一問ぐらいは解説できるようにするので楽しみにしてください。

間違い等ありましたらコメントで教えていただくとありがたいです。感想やリクエストもらえると嬉しいです。
byマロ