分数のわり算はどうしてかけ算になる？

分数の割り算はかけ算に直す。
何故？

「計算はできるけど…なんでだっけ？」と思う方は読んでみてください。数学の世界へ、いってらっしゃい👋(←1人で行かせる気か？！)

第1章【2種類の割り算を知る】

先ずは、割り算には2種類ある事の説明です。
聞いたことありますか？『等分除』と『包含除(ほうがんじょ)』を。
(↑いきなりの倒置法✍️)

等分除の方が馴染みがあると思います。

名前は聞いたことなくても、割り算ってこういう意味でしょ？って考えてるのがおそらく等分除だと思うので、今回はみかんを使って説明します。自分の割り算のイメージと合ってるか確認してみてくださいね！👀

等分除とは？

20個の“みかん”を5等分した1つ分の個数
⇒20個あるみかんを5人に配った時の、1人分の個数。
⇒式) 20 ÷ 5 = 4
⇒答え) 4個

どう？何等分ってイメージじゃない？割り算って(倒置法)

では逆に、包含除とは何なのでしょう？
『何等分ってイメージじゃない割り算？は？
美味いのそれ？食ったことねぇんだけど？』
って感じですよね？ね！
(↑読者のイメージどないなっとるん？！)

包含除とは？

20個のみかんを5個ずつに分けると何グループできるか。
⇒20個のみかんを5個ずつに分けると何人に配れるか。
⇒式) 20 ÷ 5 = 4
⇒答え) 4人

🥺「先生…違いが分かりません。バスケが…したいです」

👓『諦めたらそこで…受講料とるよ』

🥺『うぅ…』

ハッキリとした違いは答えの『単位』ですよね！
等分除では4“個”ってなってるけど、
包含除では4“人”ってなってます。

だがしかし！そこは氷山の一角に過ぎない！
本質はその奥にある！！！

ここで、僕の中の『等分除と包含除の“決定的な違い”』をお伝えしたい！

等分除とは…

先ず『何人に分けるか』が決まっていて、次に自分の持つみかんを分わけていく。
⇒外(😀「よし！○人に配ろう！」)を見てから、内(😗「え〜っと、1人分のみかんは…」)を数える。
⇒『5人に配る』から手持ちのみかんを5“等分”する。

外(人数)を見てから内(みかん)！

それに対して！！

包含除とは…

先ず『何個に分けるか』が決まっていて、次に何人に配れるかを考えてる。
⇒内(😀「よし！○個ずつに分けよう！」)を見てから、外(😙「何人に配れるかな〜」)を考える。
⇒手持ちのみかんに『5個のまとまり』が何個“含まれている”かを数える。

内(みかん)を見てから外(人)！

要するに、等分除が20個のみかんを5“等分”するのに対して、包含除は20個のみかんに5個のまとまりがいくつ“含まれている”かを数えているんですね！

第2章【包含除ってのが鍵だ！】

👨🏻‍🏫『さて、本題に戻ります』

今回の記事のメインは分数の割り算が掛け算になる理由を解明することです。
そこで重要な考えが、先程の解説で出てきた『包含除』なんです！！！(←だから熱く語ってたのね😅)

突然ですが、某学習塾の『○進』のCMで、グラサンの数学講師の方が仰ってた言葉をここで紹介します。

😎『数式は言葉です、計算じゃない』

○進のCMより一部抜粋

さて、ここからは数式と“言葉”を交えて“(割る数が)分数の割り算”を少し考えてみましょう！

使う式はコチラ！

式) 5 ÷ 1/2

さて、これを包含除の考え方を使って数式から言葉に変換してみましょう！

【包含除】

式) 5 ÷ 1/2
言葉) ５の中に1/2は何個含まれてる？
🍊) ５個のみかんを1/2個ずつに分けると何人に配れる？

これはしっくりきますね！
5個あるみかんを、1個ずつ半分に割っていったら何人に配れるかってイメージです！
包含除の考え方は、ここで大活躍しました！
え？逆に等分除の考え方に当てはめたらどうなるか気になるって？…今回だけ特別だべ？(←説明したいだけ👀)

【等分除】

式) 5 ÷ 1/2
言葉) 5を1/2等分した1つ分は？
🍊) 5個のみかんを1/2人に配った時の1人分の個数。

🥺『怖〜〜〜い！1/2等分って何…半分ってこと？…でもそれは2等分だし…1/2？え？怖〜〜〜い！』

👓『だから言ったろ？包含除が良いって』

さて、分数の割り算には包含除の考え方が使えそうなことはわかりましたね！
それに加えて、あなたは『数式を言葉で捉える』練習もできちゃってるんです！良かったね！お得講座だ！👏👏👏👏

第3章【「逆数で掛ける」までの道のり】

さて、最終章に突入しました。

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👨🏻‍🏫『皆さーん、付いてきてますかー？』

🤢『な…なんとか…』

👨🏻‍🏫『……ハワイに行きたいかーー！！！！』

🤢『！？』

👨🏻‍🏫『ハワイに行きたいかーー！！！』

😲『おぉーーー！(今からハワイ行くのか？)』

👨🏻‍🏫『この後行ってらっしゃーーーい！！！』

😇『…おぉー！(連れてってはくれないよねー！)』

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ここからは先程の式を使って『何故逆数で掛けるのか』を考えていきましょう！使う式は先程と同じのにしましょう！

まず、答えを考えることから始めます。

式) 5 ÷ 1/2
言葉) 5の中に1/2は何個含まれている？
イメージ) 🌕🌕🌕🌕🌕→🌗🌓🌗🌓🌗🌓🌗🌓🌗🌓
答え) 10

1/2ずつに分けていくので、数が最初の5よりかは増えていくイメージです。
6 ÷ 2とかなら、2ずつに分けるので、数は減っていきます。

では、この式に逆数で掛けるを使って言葉に直しましょう！

【逆数】

式) 5 ÷ 1/2 = 5 × 2/1 = 5 × 2 ÷ 1
言葉) 5を2倍して、1ずつに分ける。
イメージ) 🌕🌕🌕🌕🌕→🌕🌕🌕🌕🌕🌕🌕🌕🌕🌕
答え) 10

1ずつに分けるのは、既に分けれているので“何もしない”のと変わりませんね。

では他の式も検討してみましょう！

式) 2 ÷ 2/3
言葉) 2の中に2/3は何個含まれている？
イメージ) むずい…ホールケーキ2個をベンツのエンブレムみたいに切って(6ピースできる)、2ピースずつに分けるのよ😅
答え) 3

あら？気付きました？
イメージのところ！イメージのところ！

ホールケーキ2個をベンツ切りしたら、6ピースになりました。数を見ると…2を3つに切って6にした…。

\\\\\\ 2 × 3 = 6 やってるじゃねーか！？//////

そして次です！6ピースを2ピースずつに分ける…。

オメェ！これっ！
\\\\\\ 6 ÷ 2 じゃねーか！？ //////

つまり！コレを1つの式にすると…！

\\\\\\ 2 × 3 ÷ 2 //////

よって
式) 2 ÷ 2/3 = 2 × 3/2

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👨🏻‍🏫『さて、わかったかな？分数の割り算が掛け算に変わる道のりが(倒置法)』

🤓『“逆数にして掛ける”の裏にこんな道のりがあったんだね』

👨🏻‍🏫『おう、よく分かったようだな。それじゃ、受講料の5,000$を指定の口座に振込な』

😇『…(あれ？最初と言ってることが違っ)』

👨🏻‍🏫『さぁ、早くしないと円安が進んじまうぜ？』

😱『ドル($)で要求してやがったぁぁぁぁ！？いやぁぁぁぁぁぁ！』

👨🏻‍🏫『ちっ、逃げ足だけは早えやつだ…次合った時に請求してやろ…ん？おっとっと！これはこれは！スマホから見てる君！君だよ、ここには私と君しかいないだろ？』

君『…』

👨🏻‍🏫『どうだね？何か知りたいことはないかね？』

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最後まで読んでいただきありがとうございました！
では、また！