ご都合主義の数学　〜なぜ0で割っちゃいけないのか〜

こちらの記事(↓)で，数学における“定義”の話を書きました．

数学で“定義”というと，用語を定義するだけではありません．
用語以外を定義するって，よく分からないかもしれないですが，その分かりやすい例を紹介しようと思います．

それは，演算を定義するということなんですが，具体的には「$${0}$$で割る」という計算の定義のことです．

小学校で，「$${0}$$で割っちゃいけない」ということを習ったと思います．
それって何故だと思います？

答えは簡単で，「$${0}$$で割ると都合が悪いから」です．

何が都合悪いのか，説明します．

仮に，「$${0}$$で割る」をムリヤリ定義してみましょう．
例えば$${1÷0}$$を考えてみます．

$${1÷0}$$を分数で表すと$${\dfrac{1}{0}}$$になりますね．
この$${\dfrac{1}{0}}$$とはどんな数になるんでしょう？

そこで，小学校で（※中学校だっけ？）習った反比例のグラフを思い出してみてください．$${\dfrac{1}{x}}$$みたいなやつのグラフです．
こんな感じでしたね？↓

y=1/xのグラフ

さて，$${\dfrac{1}{0}}$$は，このグラフの$${x}$$（=横軸）が$${0}$$のところです．
つまり，左端ですね．

これ，左端にグラフがぶつかることはないんですが，強いて言うなら$${\dfrac{1}{0}=\infty}$$になる，というのはいいかなと思います．

つまり，「$${0}$$で割る」を定義しようとすると，$${\infty}$$が出てくることになります．

この$${\infty}$$というのが，都合の悪い存在なんです．

というのも，例えば

$$
x+1=y+1
$$

という式があれば，両辺から$${1}$$を引いて

$$
x=y
$$

となりますね．

同じような感じで，

$$
1+\infty=\infty
$$

というのを考えてみましょう．（$${\infty}$$よりも大きい数はないので，$${1}$$足しても$${\infty}$$になります）

で，$${x+1=y+1}$$と同じように両辺から$${\infty}$$を引いてみると，

$$
1=0
$$

になります．

これが都合悪いんです笑

だから，「$${0}$$で割る」は定義できないんです．