【数学を学び直す】〈確率#2〉数え方の応用

前回、数え上げるための武器を教えた

今回はそれの応用編
複雑になるが着いてきて欲しい

制約のある並び替え

5人(a,b,c,d,e)で集合写真を撮る
aとbは特別仲が良く
写真を撮るときには隣り合っていたい
aとbが隣り合うような並び方は全部で何通りか？

aとbは必ず隣り合うので、2人で1人として見る
aとbを合わせてfとする
f,c,d,eの並び替えなので
4!通り
fの中での並び方は2!通りあるので
答えは
4!×2!=48通り

部分的に並び替えをすることで、複雑な並び替えも計算できる

問題1

男3人、女3人の6人で写真を撮る
男女交互に並ぶ並び方は何通りか？

同じ物があるときの並び替え

h,e,l,l,oの5文字を並び替えてできる文字列はいくつか？

5枚の並び替えだから5!通り
と行きたいところだが
そうは行かない

lが2つあるのでこれをl₁,l₂のように区別すると
hel₁l₂oと
hel₂l₁oの
2つとも数えてしまう
どちらもhelloという文字列なので1つとして数えたい

そして、どんな文字列の時もl₁とl₂の入れ替えを考えなければいけない
全て2!通りずつあるので、2!で割ればいい

答えは
$${{5! \over 2!}=60}$$通り

並び替えるものの中に同じものが複数個ある場合
その入れ替えを省かなければいけない

h,h,e,l,l,oの並び替えなら
$${6! \over 2!×2!=180}$$通り

h,e,l,l,l,oの並び替えなら
$${{6! \over 3!}=120}$$通り

また、こんな考え方もできる

h,e,l,l,oを並べ替えるとき
5つのうち2つを選んでそれをlにする
それ以外はh,e,oの並べ替え
C(5,2)×3!=60通り

計算してることは一緒だけど、考え方が違う

h,h,e,l,l,oの並び替えなら
6個のうち2個を選んでhにする
残りの4個のうち2個を選んでlにする
それ以外はeとoの並べ替え
C(6,2)×C(4,2)×2!=180通り

h,e,l,l,l,oの並び替えなら
6個のうち3個を選んでlにする
それ以外はh,e,oの並べ替え
C(6,3)×3!=120通り

グループ分けをするときにこの考え方が使える

10人を3人、3人、4人に分けたい
分け方は何通りか？

まず10人のうち3人を選ぶ
残りの7人のうち3人を選ぶ
最後は残った4人
C(10,3)×C(7,3)×C(4,4)=4200通り

問題2

a3個、b4個、c2個を並び替えてできる文字列は全部でいくつか？

仕切りも含めて並び替える

5枚のカードそれぞれにa,b,cのうちどれかの文字を書く
書き方は全部で何通りか？

a,b,b,c,c,
かもしれないし
a,a,a,c,c
のように書かれない文字があってもいい

先ほどのようにそれぞれの文字の個数が決まっていないので
C(5,2)×C(3,1)×C(2,2)
のようにはできない

仮にそれでやったとしても全パターンを数えるには相当な計算量になる

そこで、仕切りを使って考えてみる

まず、カード（○）を5枚横に並べる
○○○○○

仕切りとして|を2つ追加する
○○○○○||
これを並び替える

仕切りで区切られた左のカードにa、真ん中にb、右にcを書くことにする

○○|○○|○なら
a,a,b,b,c

○○○||○○なら
a,a,a,c,c

これで全パターンが数えられる

○5個、|2個の並び替えなので
$${{7! \over 5!×2!}=21}$$通り

問題3

5種類の商品を合計10個注文したい
注文の仕方は全部で何通りか？
ただし、注文しない商品があってもよい

円に並べる

4人でババ抜きをする
並び方は何通りか？

ただ

a b
d c

と

b c
a d

のように回転して同じになるものは同一視する

回転して同じ形になるとき
手番の回り方は2つとも同じになる
→a→b→c→d→a→b→…

順番が同じならどこに座っていようが関係ないので、回転して同じになるものは同一視する

その上で円に並ぶ並び方は何通りか？

回転して同じになるものを排除するには
回転することがないようにすればいい
そのために1人の場所を固定する

1人の場所を固定すれば、それ以上回転しない

仮にaを固定すると
残りの3人の並び替えになるから
3!通り

一般にn人を円に並べると、その並び方は
(n-1)!通り

円に並べたものの発展形で
数珠に並べるものがある
これは裏返して同じものも同一視する
なので円の並べ方からさらに2で割る
(n-1)!/2通り

問題4

①男3人、女3人でババ抜き
男女交互に並ぶ並び方は何通りか？
ただし、回転して同じになるものは同一視する

②赤4個、青2個、黄1個のビーズがある
これら全てを紐に通してできるネックレスは
全部で何通りか？
ただし、回転、裏返しして同じになるものは同一視する

応用ができたところで、次回は入試問題を実際に解いてみる
やはり、問題を解くのが一番理解につながる

オンラインで数学を教えてます

すうがくのおやつ

解答

問題1
まず男3人、女3人をそれぞれ並べる
3!×3!
男女男女男女と並ぶ時と
女男女男女男と並ぶ
2通りが考えられるので
3!×3!×2=72通り

問題2
まず9個を並べる
9!通り
その中でa3個、b4個、c2個のそれぞれの並び替えを省く
$${{9! \over 3!×4!×2!}=1260}$$通り
もしくは
9個のうち3個を選んでaにする
6個のうち4個を選んでbにする
残りはcにする
C(9,3)×C(6,4)=1260通り

問題4
①
男1人を固定する残り5人の並び替えを考える
男2人、女3人をそれぞれ並べる
2!×3!通り
女男女男女
の並べ方しかできないので
2!×3!=12通り

②
黄1個を固定して残りの6個の並び替えを考える

左右対称になるとき
右（左）半分に赤2個、青1個になればいい
C(3,1)=3通り

左右非対称になるとき
全パターンから左右対称になるときを引けばいい
$${{6! \over 4!×2!}-3=12}$$通り

左右対称の時は裏返しても同じなのでそのまま
赤、赤、青、青、赤、赤など

左右非対称の時は裏返して同じになるペアがあるので、2で割る
赤、青、青、赤、赤、赤と
赤、赤、赤、青、青、赤
など

3+12/2=9通り