【数学を学び直す】〈確率#1〉数え方の基本
今回から数学を学び直す【確率】を始める
確率は数学の中でも現実で使いやすい分野なので、学び直しの第一歩としていただきたい
確率を考える上で重要なのが
全パターン数を調べる
ということ
例えば
コインを2個振って表と裏が1回ずつ出る確率
を求めると
起こりうる全パターンは
1回目の表裏と2回目の表裏で
2×2=4通り
そのうち表と裏が1回ずつ出るのは
表裏と裏表
となる2通り
求めたい確率は
$${{2 \over 4}={1 \over 2}}$$
このように
あることが起きる確率は
あることが起こるパターン数を
起こりうる全パターン数で
割ることで求められる
なので、今回からいろんなパターンの数えるための武器を与える
3桁の数はいくつあるか？
100 から999までが3桁の数だから
999-100+1=900個
（なぜ1を足したのかは、0から5までの個数を考えてみて）
これでも求めることができるが、違う考え方をしてみる
3桁の数は
1の位、10の位、100の位
の3つからできる
それぞれ考えられるパターンは
1の位→0〜9の10通り
10の位→0〜9の10通り
100の位→1〜9の9通り
（100の位が0だと2桁の数になってしまうので除外）
物を並べる時のパターン数は、それぞれのパターン数の積になる
1の位が0のとき、10の位は10通り
1の位が1のとき、10の位は10通り
1の位が2のとき、10の位は10通り
これが10個続く
100の位についても同様
つまり3桁の数は
10×10×9=900個
である
このように物を何個か並べるとき
全パターン数はそれぞれの場所でのパターン数をかけ算すれば良い
問題1
3桁の数のうち、4と9の両方とも使わない数は全部でいくつあるか？
4人を1列に並べる
先ほどの問題は
同じ物を何回も用いていい物だった
（1の位に1があっても、10の位にも1を使っていい）
次は、1度使ったら使えなくなる
分かりやすいのは集合写真
4人で1列に並んで撮影するが
一番左にいる人が他の場所にはいない
（そりゃそう）
その時の全パターン数を数える
仮にその4人をa,b,c,dと名付ける
ここでは左から順に考える
一番左の人はa,b,c,dの4人
（仮にaとする）
その隣は一番左に行かなかった残りの3人
（b,c,dの中の誰か
仮にbとする）
その隣は先の2人以外の2人
（cかdのどちらか
仮にcとする）
最後は残った1人
（d）
つまり、4人が1列に並ぶ時その全パターン数は
4×3×2×1=24通り
これは4人以外の場合でも同じことができる
5人なら
5×4×3×2×1通り
10人なら
10×9×8×…×2×1通り
毎回
10×9×8×…
と書くのは面倒なので
これを
10!
と書くことにする
読み方は10の階乗（かいじょう）
階段状にかけ算（乗）する
4人の並べ替えなら
4!通り
5人の並べ替えなら
5!通り
n人の並べ替えなら
n!通り
$$
n!=n×(n-1)×…×2×1
$$
数学記号や専門用語は
毎回書くと面倒だからこう書こう
というのが多い
難しい言葉は説明を楽にしてくれる
問題2
30人のクラスで席替え、並び方は何通りか？
（計算せず記号で答えて良い）
4人のうち2人を並べる
今度は、全員を並べず一部だけ並べる
ただ、やることは先ほどと一緒
a,b,c,dのうち2人を選んで並べる
全部で何通りか？
これもまた左から考える
左はa,b,c,dの4人
（仮にaとする）
隣は残りの3人のうちの1人
（b,c,dの中の誰か）
2人を並べるだけでいいのでここで終了
つまり
4×3=12通り
これも、4人から2人を並べる以外の場合でも同じ
10人から3人並べるなら
10×9×8=720通り
100人から46人並べるなら
100×99×98×…×56×55
一般にn人からr人並べるときは
$${\overbrace{n×(n-1)×…×(n-r+1)}^{\text{r個}}}$$通り
最後に+1がついてるのは
3桁の数を求めたときを思い出せ
ただ、そんなこと考えず
nから1ずつ減らして、r個かけ算すればいい
これも毎回書くのは面倒だから記号を作る
P(n,r)
読み方はそのままピーエヌアール
Pは順列を意味する英語permutationから
$$
P(n,r)=n×(n-1)×…×(n-r+1)
$$
特に
P(n,n)=n!
P(n,r)をよく見ると
階乗を使って書き表せそうな気がする
P(n,r)に
$${{(n-r)! \over (n-r)!}=1}$$
をかけてみる
（1をかけても数は変化しない）
$$
\begin{align}
P(n,r)&={n×(n-1)×…×(n-r+1)×(n-r)! \over (n-r)!}\\
&={n! \over (n-r)!}
\end{align}
$$
よって
$${P(n,r)={n! \over (n-r)!}}$$
が得られる
正直この公式は覚えなくてもいい
式をこねくり回す練習になるので紹介した
問題3
30人のクラスで委員長と副委員長を決める
選び方は何通り？
4人から2人を選ぶ
先までは並べることを考えてきたが
次は選ぶことを考える
a,b,c,dのなかから2人選ぶ
全部で何通りか？
選ぶ前に一度2人を並べてみる
P(4,2)=12通り
2人並べるのは2!通りある
（abとba）
2!通りは並び方は違うけど、全部同じ選び方
なので、2!を1として数える
そのためにはP(4,2)を2!で割ればいい
つまり
$${{P(4,2) \over 2!}=6}$$通り
もう1つの考え方
2人並べるのは、選んでから並べるのと同じ
2人選ぶパターン数をaとすると
a×2!=P(4,2)
（aで2人選んで、2!で並べる）
$${a={P(4,2) \over 2!}=6}$$通り
これも、他の場合でも同じ
5人から3人選ぶのは
$${P(5,3) \over 3!}$$通り
10人から5人選ぶのは
$${P(10,5) \over 5!}$$通り
一般にn人からr人を選ぶのは$${{P(n,r) \over r!}={\overbrace{n×(n-1)×…×(n-r+1)}^{\text{r個} }\over \underbrace{r×(r-1)×…×2×1}_{\text{r個}}}}$$通り
分子はnから1ずつ減らしてr個かける
分母はrから1ずつ減らして1までかける
これにも記号あり
C(n,r)
Cは組み合わせの英語combinationから
特にC(n,n)=1
$$
\begin{align}
C(n,r)&={P(n,r) \over r!}\\
&={n! \over (n-r)!×r!}
\end{align}
$$
問題4
30人のクラスで美化委員を2人決める
選び方は何通りか？
n!,P(n,r),C(n,r)
これで全パターンを数え上げるための武器は揃った
次回はこの武器をさらに磨いていく
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解答
問題1
1の位→0,1,2,3,5,6,7,8の8通り
10の位→0,1,2,3,5,6,7,8の8通り
100の位→1,2,3,5,6,7,8の7通り
8×8×7=448個
問題2
教室の机を紐で一筆書きして、
それをピンと張ると30人の並べ替えになる
よって30!通り
問題3
委員長、副委員長の順に並べる
P(30,2)=30×29=870通り
問題4
30人から2人選ぶ
C(30,2)=(30×29)/(2×1)=435通り
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