算数6年サピックス　デイリーサポート解説［61-13場合の数］

今回は場合の数です。カード並べや和分解については度々登場していますね。投票算、不定方程式、3段つるかめについては登場頻度が少ないので解き方の手順を身につけておきましょう。

★解説を読んでも分からない、授業中に板書を写せないお子様に。テキスト付属の解説はとても簡易的です。そこで家庭学習でお子様が取り組まれるデイリーサポート［実践編A〜E］について、お子様が1人で取り組めるような補助教材を作成しました。

・確認編全問対応
・豊富なカラー図表
・計算の過程も分かる

★著作権の関係で問題文そのものは掲載しておりません。万一誤字脱字、ご要望などございましたらコメント欄にお願いいたします。対応教材は順次増やしていく予定です。

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今回学ぶこと

• アプローチ$${\textcircled{\small{1}}}$$場合の数(基本)→A$${\fbox{1}}$$、三角形を作る→B$${\fbox{1}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{2}}}$$3人で分ける→A$${\fbox{2}}$$、和分解(1)→A$${\fbox{2}}$$、E$${\fbox{3}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{3}}}$$記号を並べる→C$${\fbox{3}}$$、色のぬり分け(応用)→C$${\fbox{4}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{4}}}$$サイコロの目→A$${\fbox{4}}$$、和分解(2)→D $${\fbox{2}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{5}}}$$投票算(基本)→B$${\fbox{4}}$$、投票算(応用)→E $${\fbox{2}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{6}}}$$開票途中の投票算→D$${\fbox{4}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{7}}}$$不定方程式、3つの不定方程式→C$${\fbox{2}}$$

• アプローチ$${\textcircled{\small{8}}}$$3段つるかめ→D$${\fbox{3}}$$、図形への応用→E$${\fbox{4}}$$

復習テキスト

• 41-04場合の数(1)、41B-19場合の数(2)、N41-11場合の数(1)、N41-14場合の数(2)

• 510-19場合の数(1)、510−36場合の数(2)

実践編A

$${\fbox{1}}$$場合の数(基本)

(1)順列
両親の並び方は［父$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$母］［母$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$$${\textcircled{\scriptsize{子}}}$$父］の2通り、3人の子供の並び方は3×2×1＝6通りあります。

(2)組み合わせ
7人の生徒の中からほうき掃除の2人を選ぶとき、1人目の選び方は7通り、残り
の6人から選ぶので2人目の選び方は6通りです。よって7×6＝42通りですが、2人の選ぶ順番は関係ありません。例えばA,Bの2人を選ぶとき、［AB］［BA］で同じ組み合わせを2回数えてしまっています。

$${\fbox{2}}$$和分解(1)

・和分解の手順
　①分け方を書き出す(大きい方、または小さい方から順番に)
　②それぞれの分け方について、並べ替え方を調べる
　③並び替え方を合計する
・2種類の和分解では、個数が少ない方に注目すると楽

みかんを分ければりんごの数は自動的に決まります。
①みかん5個の分け方は(5,0,0)(4,1,0)(3,2,0)(3,1,1)(2,2,1)の5通りあります。
②誰が何個もらうかで並べ替える方法は、(5,0,0)(3,1,1)(2,2,1)は3通りずつ、(4,1,0)(3,2,0)は3×2×1＝6通りずつあります。
③並び替え方を合計しましょう。

(計算で求める別解)
5個のみかんの和分解は、「5個のみかん(🍊)と2個の仕切り(｜)の合わせて7個を横一列に並べる並べ方が何通りあるか」と考えることができます。

例えば(🍊🍊🍊🍊🍊｜｜ )は(5,0,0)に、(🍊🍊🍊🍊｜🍊｜ )は(4,1,0)に対応しています。1か所目の仕切りを入れる場所の選び方が7通り、2か所目の仕切りを入れる場所の選び方が6通りですが、選ぶ順番は関係ないので、7×6÷2で求めることができます。

$${\fbox{3}}$$

(1)6枚のカードを並べるとき、百の位のカードの選び方は$${\fbox{0}}$$以外の5通り。十の位のカードは残りの5枚から選ぶので($${\fbox{0}}$$も使ってよい)5通り、一の位のカードは残りの4枚から選ぶので4通りあります。

(2)百の位が$${\fbox{9}}$$である整数は5×4＝20通り、百の位が$${\fbox{7}}$$である整数も20通りあります。大きい方から30番目の数は、百の位が$${\fbox{7}}$$である整数のうち、大きい方から10番目です。

百の位が$${\fbox{7}}$$、十の位が$${\fbox{9}}$$である整数は4通り、百の位が$${\fbox{7}}$$、十の位が$${\fbox{5}}$$である整数も4通りあります。大きい方から30番目の数は、百の位が$${\fbox{7}}$$、十の位が$${\fbox{3}}$$である整数のうち、大きい方から2番目です。

・3の倍数の見分け方：それぞれの位の数の和が3の倍数になる
　例えば、411はそれぞれの位の数の和(4＋1＋1＝6)が3の倍数なので3の倍数
・5の倍数の見分け方：一の位の数が0か5

(3)

・3で割った余りに注目するとモレなく探せます
　A：3で割り切れるカード $${\fbox{0}}$$,$${\fbox{3}}$$,$${\fbox{9}}$$
　B：3で割って1余るカード$${\fbox{1}}$$,$${\fbox{7}}$$
　C：3で割って2余るカード$${\fbox{2}}$$
3枚のカードの和が3の倍数になる選び方は(A,A,A)(A,B,C)

3枚のカードの和が3の倍数になる選び方は(0,3,9)(0,1,2)(0,7,2)(3,1,2)(3,7,2)(9,1,2)(9,7,2)の7通りあります。
3枚のカードを並び替えて3けたの整数を作る方法は、(0,3,9)(0,1,2)(0,7,2)は2×2＝4通りずつ、(3,1,2)(3,7,2)(9,1,2)(9,7,2)は3×2×1＝6通りずつです。
並び替え方を合計しましょう。

(4)一の位のカードが$${\fbox{0}}$$のとき、百の位のカードの選び方は5通り。十の位のカードの選び方は4通りあります。

一の位のカードが$${\fbox{5}}$$のとき、百の位のカードの選び方は$${\fbox{0}}$$以外の4通り。十の位のカードは残りの4枚から選ぶので($${\fbox{0}}$$も使ってよい)4通りあります。

$${\fbox{4}}$$サイコロの目

(1)回数が最高になるのは、すべて1の目になるときです。

(2)サイコロを2回以上投げて出た目の和が5になる組み合わせは(4,1)(3,2)(3,1,1)(2,2,1)(2,1,1,1)(1,1,1,1,1)の6通りあります。
何回目にどの目が出るかで並べ替える方法は、(4,1)(3,2)は2通りずつ、(3,1,1)(2,2,1)は3通りずつ、(2,1,1,1)は4通り、(1,1,1,1,1)は1通りです。
並び替え方を合計しましょう。

★実践編B以降は有料(500円)でご覧いただけます。