【算数オリジナル問題】あまりもの、ワルモノになって逆襲する。

みたび、剰余についての問題を作りました。わり算は、一つの式から一気に複数の関係が現れる複雑な計算のようで、それだけで問題になります。前の問題↓

今回はまたけいろが異なり、より複雑になりました。レベル58くらいです。

【問題】あまりの逆襲。

(1) 以下の2つの式が成り立つとき、A〜Eとして適当な数を求めてください。ただし、A〜Eは1以上の整数で、同じ文字ならば同じ数を表すものとします。
120÷A＝BあまりC
C÷B＝DあまりE

(2) A〜Dは1以上の整数です。以下の2つの式が成り立つとき、Cを求めてください。
25÷A＝BあまりC
551÷C＝Dあまり5

算数PLAYオリジナル問題

正直、ほぼ算数ではなくなっている感じはしているのですが、理解を深めるためのパズルとしての問題です。(1)では答えが無いと悩み、(2)では迷わず間違えてほしい。

---

解法(1)つべこべ言わずに調べるのが吉

スポーツとかゲームの動画を眺めても自分ではできるようにはなりませんので、これも絵画みたいなものだと思ってください。

【考え方①】
「120÷A＝BあまりC、C÷B＝DあまりE」について、Aが小さくてBが大きくなる場合から調べていくと、以下の事実を通過できます。
D＞0より、C＞B。また、A＞Cより、A＞C＞B＞1。120＝A×B+Cより、Aは120の平方根よりは大きいため、11以上。

【考え方②】
120＝A×B+Cより、A､Bともに120の約数ではない。Aが大きい方から調べると、
Bが約数ででなくなるのは、120÷17＝7あまり1が初めて。よって、Aは17以下。

以上より、Aは11以上17以下。結局調べる。
120÷11＝10あまり10、10÷10＝1あまり0→不適。
120÷12＝10あまり0、0÷10＝0あまり0→不適。
120÷13＝9あまり7、7÷9＝0あまり7→不適。
120÷14＝8あまり8、8÷8＝1あまり0→不適。
120÷15＝8あまり0、0÷8＝0あまり0→不適。
120÷16＝7あまり8、8÷7＝1あまり1→適する。
120÷17＝7あまり1、1÷7＝0あまり1→不適。

よって、A＝16、B＝7、C＝8、D＝1、E＝1。

【考え方③】
問題の状況を「120円をB人でA円ずつ分けるとC円余り、そのC円をまたB人で分けるとE円余る」と言い換えると、結局AまたはBが120を割り切れる数だとあまりが出ないことが簡単に理解でき、初手で3通りに絞れます。

---

解法(2)四の五の言ってないで調べよ

条件の確認。
25÷A＝BあまりC、551÷C＝Dあまり5

(1)よりも分かっている情報が多くて簡単そうです。ポイントはズバリ、Cの範囲です。
551＝C×D+5より、C×D＝546と分かります。また、25＞A＞Cです。
546＝2×3×7×13より、Cとして考えられるのは、1､2､3､6､7､13､14､21の8つ。
…しかし全部が答えではありません。551÷C＝Dあまり5より、C＞5です。よって、C＝6､7､13､14､21の5つ。
…これも正解ではありません。25÷A＝BあまりCにおいて、Cの最大値は、A＝13のときC＝12です。よって、C≦12より、C＝6､7。

と、小難しいことを書きましたが、そもそも25＞Aなので、Aを1から24まで調べてもすぐさま絞れます。ただしC＝6だけ見つけて終わりにせぬように注意。
※ちなみにCの解が2通りなのに対して、Aの解は3通りあります。

---

【余説】正確な調査こそパワー

100÷1から100÷100まで書いてみて気づいたことを問題にしました。今まで聞いたことがなかったのですが、「あまりは、わられる数の半分より小さくなる」ということに気づいたので、ピックアップしました。
こんなことをいちいち覚えても使えませんから、中学入試であればとにかく手を動かしてほしいものです。

(1)の類題
96÷A＝BあまりC
C÷B＝DあまりE
このとき、Aを求めてください。(A〜Eは1以上の整数)

算数PLAYオリジナル問題

2024年3月3日