伝達関数の発展形

前回は1次系、2次系の伝達関数について解説しました。

ちょっと考えてみると2次系までしか教科書には書いてないですが、3次系ってないのでしょうか？

現実には3次系になってしまうシステムがあります。

車を目標の位置に制御する問題があるとします。
制御入力は比例・微分先行型PID制御とします。

$${ma=-K_px+K_i\int(x_t-x)-K_d\dot{x}}$$

目標位置から実際の位置までの伝達関数は

$${\frac{x}{x_t}=\frac{K_i}{ms^3+K_ds^2+K_ps+K_i}=\frac{\frac{K_i}{m}}{s^3+\frac{K_d}{m}s^2+\frac{K_p}{m}s+\frac{K_i}{m}}}$$

分母のsの最大次数が3になってしまいました。

これじゃ2次系の基本形は当てはまんないじゃんということになります。

では伝達関数の発展形について検討していきます。

2次系は1次系を2個直列につなげたものと考えてOKです。
つまり

$${\frac{1}{1+sT}\frac{1}{1+sT}=\frac{1}{1+2Ts+T^2s^2}}$$

$${T=\frac{1}{\omega_n}}$$なので

$${\frac{1}{1+sT}\frac{1}{1+sT}=\frac{1}{1+2Ts+T^2s^2}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_n+\omega_n^2}}$$

となり、2次系で$${\zeta=1}$$のときと同じになります。

ということは3次系を作りたいときはどうすればいいか？

1次系を3個直列に繋げたものになりそうですね。
したがって、3次系伝達関数は

$${\frac{1}{1+sT}\frac{1}{1+sT}\frac{1}{1+sT}=\frac{1}{1+3Ts+3T^2s^2+T^3s^3}=\frac{\omega_n^3}{s^3+3\omega_ns^2+3\omega_n^2s+\omega_n^3}}$$

となります。

じゃあ4次系は？って場合は4個直列につなげればいいですね。
3次系まで知っていると便利だったりします。

今回は伝達関数の発展系について紹介しました。