準同型と作用〈龍孫江の群論道具箱〉

　ここ２回で，群の作用を導入し，作用が置換群への準同型を導くことを見ました．今回は，この逆を示します．

https://youtu.be/BXFCzFCBoR8

定理（準同型と作用）

$${G}$$を群，$${X}$$を集合とし，準同型$${\Lambda \colon G\to \mathfrak{S}(X)}$$が指定されているとする．このとき，

$${g \in G}$$と$${x \in X}$$に対し$${g \cdot x := \lambda_g (x)}$$
ただし$${\lambda_g := \Lambda(g) \colon X \to X}$$とする

と定めると，$${G}$$の$${X}$$への作用となる．□