PieceCHECK(2023-16) 確率と漸化式
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お知らせ
拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』販売開始しました！
YouTube動画をUPしました。今回は慶應大学からで、確率と漸化式に関する問題です。
思考時間は5分、目標解答時間はそこから約10分です。
こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。
解答
解説
決まった確率で従って2点A,B間を動く点Pがｎ秒後にAにいる確率を求める問題で、典型的な「確率と漸化式」の問題と言えます。
確率と漸化式の問題では、原則3点セットを意識すれば、ほぼマニュアル化可能です。
$${{\bm{n}}}$$回目から$${\bm{n+1}}$$回目の遷移を詳しく見る
求める必要のない部分も設定する
確率の和＝１、対称性を利用して文字を減らす
詳細は拙著シリーズ「数学B・C～数列～」p.78を参照
順番に見ていきましょう。漸化式を作るには、n回目とn+1回目の関係を見ることはいいと思います。その際に、解答のような遷移図を書くと分かりやすいでしょう。状態が増えても、遷移図は視覚的に分かりやすいのでおススメです。
Aにいる確率なので、Aに向かってくる矢印に着目します。すると、A以外の点にある確率も設定しておかないと式が立てられないと分かりますので、2つ目の原則に従います。Bにいる確率も設定します。
漸化式を解く際には、出来る限り文字は少ない方がいいです。ほぼ100%使うのは確率の和が1であるという式、そして状態が多い場合は対称性に着目すると文字が減らせます。
超難関大クラスで出る問題あっても、確率の和＝１と対称性で1文字に減らせる場合がほとんどです。
出来た漸化式は4型(拙著シリーズでの呼び方です)ですから、特性方程式を利用して等比型に直しましょう。
漸化式４型：$${\bm{a_{n+1}=pa_n+q}}$$型は特性方程式で等比型に
確率と漸化式の問題では、漸化式は4型に帰着されることが多いです。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。
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