三角関数 | 和積の公式を図形を用いて導く方法

長方形ABDFの辺BD上に、点Cをとる。
AC＝CE (＝１)となる点Eを辺DF上にとる。

∠DCE＝α、∠ACB＝β とすると、
CD＝cosα、DE＝sinα、
BC＝cosβ、AB＝sinβである。

△ACEにおいて、
∠ACE＝180－α－β　である。
AC＝CE の二等辺三角形だから、
∠CAE＝∠CEA (＝底角)は等しい。
よって
∠CAE
＝∠CEA
＝{180－(180－α－β)}÷２
＝(α+β)/2

もう一度、図を掲載すると、次のようになる。

次に△ACEの頂角∠Cから底辺AEに垂線を下ろしたときの交点を点Gとすると
線分EG＝cos{(α+β)/2} 。
また線分EG＝線分AGだから
線分AE＝２cos{(α+β)/2} 。

次に点Eから線分ABに垂線を下ろし、
交点Hをとる。

平行線の錯角は等しいから
∠DCE＝∠CEH＝α 。
また、∠CEA＝(α+β)/2 だから、

∠AEH＝(α+β)/2  － α ＝ (β－α)/2

また、∠AEH＝∠EAF (平行線の錯角)。

よって、△AEFは、次のように図示することができる。

よって

cos{(β－α)/2}
＝(cosα+cosβ)/2cos{(α+β)/２}

したがって

和積の公式

同じ図から
sinβ－sinα　の公式も導くことができる。

加法定理についてはこちら(↓)