ラマヌジャン

世界の七不思議のひとつ。

インドの魔術師ラマヌジャン。

正式な数学史の知識は全くなく、どれだけすごいのかもすべてまとめサイトの受け売りだが、100年先の頭脳を持っていたといわれるラマヌジャン氏。
数学公式集だけを傍らに独学で数学にのめりこみ、その才を買われて渡英したが、多くの数学者を後に苦しめることになる数式だけを生み出すだけ生み出した後は、それを証明をする理由がわからず、生前はあまり見向きをされなかったそう。「ナマギーリ女神が舌に数式を書いてくれる」といって、毎日半ダースもの定理や式をノートに書きだしていった逸話があるらしい。

公式丸暗記してタイムスリップしたアホ説
未来から来た数学オタク（記憶喪失）説
「地球に舞い降りた宇宙人が、気まぐれにその知識を振りまいていった」説

などと散々に言われているのは、まだ彼の頭の中を再現する頭脳がこの世にないからだろうか。

数学については、餅は餅屋、他力本願といった言葉がすぐ浮かぶぐらい苦手意識が強いのだが、ラマヌジャンのパワフルエピソードはどれも魅力的なため、少しでもその深淵を臨むために、数学音痴がラマヌジャン氏の書き留めた数式を一つ確かめてみたい。

ζ（ゼータ）関数とよばれるものらしく,ギリギリΣ（シグマ）については覚えている. たしか足していくやつだ. 数列のあたりに出てきた.

つまりこういうことだ. まだついていける.
このζ関数は, sの実部が1より大きい時,数式として意味を成すという.
つまり, 分数がどんどん小さくなっていくから, 収束するらしい.
これがs<1となってしまうと, 無限に発散するという.

もうここからは数ⅢCをとってないので付け焼刃なのだが, sの実部が1より大きいということは, 虚部というものもあるということ. 複素数iだ.

複素平面上において, この関数は1より大きいところでは線を引っ張ることができる. ただし, １より小さいところでは発散するため, 定義域が狭いままだ.

定義域を実部>1より広げるには, 線をなんとなく滑らかに書き足してあげればいい. それが解析接続というものらしい.

なぜ小難しい複素平面で考えているのかというと, （ちゃんとした数学者はそのような話の流れでは考えていないと思うが）複素平面上では正則関数は一定の領域で定義され, そのすべての点で微分可能なのだ. 

情報が渋滞したが, 浅はかな理解を薄めに薄めていうと, 複素関数の世界では, ちょっと似ていない2つの正則な関数は微分して同じなら, その領域全体で一致するという強い性質がある. (一致の定理)

この性質を逆手に取ったのが、解析接続というテクニックらしい？
これを, なじみのある実関数の平面上でやると, いかようにも滑らかに（微分可能性を保ちながら）線を付け足すことができるが, 複素平面上では唯一性がある. 一つしか線を引けないのだ.

ニュアンスとしては, 見えない線を引っ張るために, 縛りの強い複素平面に回り込んで強引に答えを掴む感じ？

有り体にいうと, もうかなり前の段階からいっぱいいっぱいなのだが, 新しく拡張された新ζ関数では, S=1以外の領域で解析接続ができる.
つまり, S=-1が計算できてしまうのだ.

ζ(-1)=-1/12

すなわち, 1+2+3+4+・・・=-1/12　が導き出せる.

数学を究めると、∞も負の分数に落とし込むことができるのかと愕然とした。

だが、ことはそう単純なものではなく、拡張して得られた新ζ関数は拡張前の旧ζ関数を内包する便利なものだが、私が中高6年間で学んできた=のイメージで右辺と左辺を結ぶのは訳が違うらしい。

やはり餅は餅屋に任せるのが一番だということがよくわかったが、びっくりなのはラマヌジャン氏は「ラマヌジャン総和法」というまた違った方法でこの-1/12を導き出していたということだ。

※数学は苦手なため、掲載内容に責任は負いかねます。

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