数の話２　すべてをみたす数

執筆：ラボラトリオ研究員 I

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384...

２という数は　１ののちに生まれる

２という数は　すべての数がそうであるが　不思議な数である

２の累乗数というものは　その組み合わせで　すべての数を表すことができる

 1 =  1          = 2^0
 3 =  2 + 1      = 2^1 + 2^0 
 6 =  4 + 2      = 2^2 + 2^1
54 = 32 + 16 + 4 = 2^5 + 2^4 + 2^2

* 2^n は 2のn乗を表す

ある世界が　２のｎ乗までの大きさの数しか存在しないとき
たとえば　その世界の数は２の８乗　すなわち　256までとすると
その中から　ひとつの数を取り出す　そのとき　253が出てきた
253について　それより小さい　２の累乗数を考える
まずは　２の７乗 = 128
253を足し算で表すことに　128を使うとすると　残りは125である
次は　２の６乗 = 64 　残りは61
同様に　次は　２の５乗 = 32　残りは29
同様に　次は　２の４乗 = 16　残りは13
同様に　次は　２の３乗 = 8　残りは5
同様に　次は　２の２乗 = 4　残りは1
最後に　２の０乗 = 1　残りは0
このようにして　２の累乗数を用いて
想定した数のすべてをみたし　表現することができる

253
=　128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1
=　2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 +2^0

さて　この法則が　この世界で何という名前で呼ばれているのか
筆者は　それを知らない
検索でもして　調べてみようか　どうしようか

はてさて　このことは　またしても面白いことがあって
ある特定の２の累乗数までを　世界の大きさとすると
それより小さい数について　どの２の累乗数を含むか　と
すべてについて試行を行ってみると
どの２の累乗数についても　含まれる個数が一定になり
きれいにまとまるのである  *図1

*図1  32 = 2^5 より小さい世界を想定する


 2^4 を 含む数      2^3 を 含む数
 -----------      -----------
 31 30 29 28      31 30 29 28
 27 26 25 24      27 26 25 24
 23 22 21 20      15 14 13 12
 19 18 17 16      11 10  9  8

 2^2 を 含む数      2^1 を 含む数
 -----------      -----------
 31 30 29 28      31 30 27 26
 23 22 21 20      23 22 19 18
 15 14 13 12      15 14 11 10
  7  6  5  4       7  6  3  2

 2^0 を 含む数
 -----------
 31 29 27 25 
 23 21 19 17 
 15 15 11  9
  7  5  3  1

この性質を使った「数当てゲーム」というものがある
そこには　数がたくさん書かれた「数当てカード」なるものがあるのだが
そのカードを用いて　相手が想った数を当ててしまうというものだ
子供の頃　そのカード遊びにいたく関心して
そこにいったい何があるのか　数をみつめ　紐解いていったことを思い出す

数当てゲームについて説明すると
上の *図1 の中の　2^nを含む数　のひとかたまりが
それぞれカードになっているとイメージしていただきたい
つまりこのとき　その場に５枚のカードが出されている
そこに　問いかける人と　答える人がいるとする
問いかける人は　このカードの意味を知っており
答える人は　このカードの何たるかを知らない

問いかける人は　そのカードの実は
『２のｎ乗を含む数の集まりである』ということは伏せて

「あなたが思った数があるカードをすべて選んでください」
と答える人に言う

答える人が　カードをすべて選ぶと
ほどなく　問いかける人が
「あなたが思った数は　いくつですね」と言い当ててしまうのだ
答える人は　伏せられている仕組みに気がつかず　驚いてしまう
というゲームである

そのこころは　問いかける人が
「2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6」と　カードに設定された２のｎ乗数を
その実こっそり足して　元の数に戻しているのである *図2

*図2 答える人 は 1から 31までの数を
    思い浮かべ この中からすべて選ぶ
  -----------------------------
  31 30 29 28       31 30 29 28
  27 26 25 24       27 26 25 24
  23 22 21 20       15 14 13 12
  19 18 17 16       11 10  9  8

  31 30 29 28       31 30 27 26
  23 22 21 20       23 22 19 18
  15 14 13 12       15 14 11 10
   7  6  5  4        7  6  3  2

  31 29 27 25 
  23 21 19 17 
  15 15 11  9
   7  5  3  1
  -----------------------------
  答える人は 6 を想定していたので
  6が含まれている ２枚のカードを選んだ
  問いかける人は そのカードに設定されている
  ２の累乗数を知っているので
  その数を足し合わせ 答える人が思った数を
  特定することができる
  -----------------------------
      2^2               2^1

  31 30 29 28       31 30 27 26
  23 22 21 20   +   23 22 19 18   =  6
  15 14 13 12       15 14 11 10
   7  6  5  4 <-*    7  6  3  2 <-*

  -----------------------------

*  この図のように数の大きい順に並べてカードをつくると
   ２の累乗数の設定はいちばん右下の数と等しくなる
   よって 問いかける人はそれを当てにすればよい

** カード中の数の順番がシャッフルされていると
   また ゲームの演出として 効果的になる

この数当てゲームについては
他にも　さまざまな方が　詳しく情報を載せているだろうので
ここでは　これ以上は詳しく述べない

さて　ここでお伝えしたい　大切なこととしては
すべての整数が　１と２だけで表すことができるということである

5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 
= 2 + 2 + 1

こう書いたところで　あたりまえだと　思われるかもしれない
しかし　思い出してほしい
31を世界で一番大きい数としたら　その世界は
１と２できれいにまとまり　表すことができた

すべてを１のみで表すと　それは位相として　その場に
ただ　ただ広がっていくが

２があることで　31までの世界は5つのカード上に
それぞれ16の要素を持って分類され
活用することが可能になる
つまり　役立てることができるようになるのだ
これは　さらに大きい世界にも応用が効く

ここで　一番お伝えしたい　大切な　大切なことは
「限る」ということなのだ
数ならば「数を限る」
世界を31という数と見立ててもいいし
必要であれば100でもいい
とにかく「限る」こと

なにもかも　無限大に　限りないものを想定して事を進めると
なにひとつ　成されない
数学をとってしても
そうした無限大を想定して
証明というものも　無限大を想定してその無限大を満たすものでなければ
矛盾が生じるので証明としない
といったような病理が発生している

これは　数学の世界に　それこそ「限った」はなしではない

「限る」こと
そのことを　言い換えると
「足るを知る」
ということになる

たとえ　使える数が１と２
それだけであっても　すべての事象を説明することに
きちんと役立てることができる

大切なことは　その用いるものの「概念」をきちんと使うことにある
ある民族では数が３つまでしか　概念を持たない　という話を聞いた
それは　３つしか数がなくても　その概念を使えば
十分に生きていくことができるということだ

たとえば、原初的な社会であって　それは３の数ですべて「こと足りた」
それがもっと広がったとして
さらなる事象を認識するため
進化するために　５までの概念を新しくつくることもできる

５というなら　わたしたちの指は５本だ　それで「こと足りる」
あるいは両の指で　10　まさに「十分」
足も合わせて　20
さらに　100
いやはや　なんと豊かなことだ　なんと恵まれているのだろう！

どんどん社会は大きくなり
使いたい数字はどんどん増える
そうしたときに　わたしたちは「概念」をあやまる

そのときに　まずこのはじめの　１　２　をまず見つめることだ
そうすると　あやまった「概念」が何であるか見えてくる

はじめの神　のことを想う
１は　天之御中主神（あめのみなかぬしのかみ）
２は　高御産巣日神（たかみむすびのかみ）

1 = 天之御中主神
2 = 高御産巣日神

この２神のお働きがあることを　みつめる
その世界をイメージすることだ
数の世界において　この２神の働きをみる
はじめの「概念」をみることだ
そうすると　絡み合った病理がほどけてくる

はじめのお働きを　その動きをみつめれば
原初の世界においても、この「１」「２」が
どのように豊かに展開しているか　わかってくる

それは「概念」を掴むということだ
それはまた「神を掴む」ということで　ありましょうか

さて　最後に
すべての整数が　２の累乗数のようなやり方で
素数を用いて表すことができる　とする予想がある

「ゴールドバッハの予想」

というものだ

一般的に１が素数とされないので　そこでは
「すべての 3 よりも大きな偶数は２つの素数の和として表すことができる」
という形で　言い表されている

１と２の場合に触れていないことが気にかかるが　さておき

  12 =   7 + 5 
  20 =  17 + 3
1000 = 997 + 3

といった表現ができるということだ

これは、4,000,000,000,000,000,000まで　証明されているとか・・
しかし、想定を無限にした場合
「一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない」
ということになる　そうである
突き詰めた場合に　複雑系の問題が飛び出してくるのである
「リーマン予想」というこれも有名な未解決問題だが
ゴールドバッハの予想について　突き詰めていくと　そのことも関わってくるとのことだ

さあ　一体ぜんたい　なにをしていることであろうか・・・

ここでは　１を素数として
すべてが統合できるように　考えてみる
「すべての１ではない自然数は　その数よりも小さい　１つから３つまでの素数の和として表すことができる　また　すべての偶数は　２つの素数の和として表すことができる　１はそれより小さい数を持たないので　和として表すことができない」
ということを　書いてみて　ただただ　そのことをみつめてみると

ゴールドバッハの予想の真偽は　言うまでもないことで　あるようである

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【I プロフィール】
Paroleのシステム・インフラ担当です。
裏方です。円滑な運営を保つよう、日々の仕事を務め上げてまいります。