コラッツ予想解明への新解析手法の紹介７ー 問題の意味が小学生でもわかる数学の高額懸賞金歴史的未解決問題
第６章 コラッツ予想と同値なＣＳ空間上の命題
今回の記事（７回目）をご覧になる前に「第１章 新手法の紹介の前に」をご覧ください。
また第１章には各章へのリンクが貼ってあります。
６．１ コラッツ予想と同値なＣＳ空間上の命題（弱い命題）
第２，３，４，５章で「コラッツ予想と同値なＣＳ空間上の命題」を理解するための土台は全て説明しました。この章では今までに示した図、グラフ、数式を主として解説し、解説に必要なグラフは追加して、最後に同値な命題（弱い命題）を紹介します。
第５章で紹介したローレンツプロットは一見ランダムに見えるシグナルから規則性を見出す手法です。かなり強力です。
６．１．１ ２種ローレンツプロットの比較
図６－１は第２章でも記載した初期値２７が１に到達するまでの奇数のみ表示したステップ図（上）とその経過グラフです（下）。４２点あります。
図６－１のグラフを見ても規則性は見られませんが、試しにこれをローレンツプロットしてみます。図６－２左図に示しました。プロット点は$${(27,41), (41,31), (31,47), \cdots ,(35,53), (53,5), (5,1)}$$の４１個です。何かしらの規則性が現れましたね。直線で近似できそうなプロット点が２，３本見えています。右図は全てのプロット点を最大値３０７７で割って０以上１以下に収まるようにしたローレンツプロットで、左図と当然、相似です。
Ｃ変換は使わずに、試しにそのままローレンツプロットしてみたわけですが規則性が見られましたね。ローレンツプロットは単純ですが強力です。初期値２７以外でも、もっと大きな多数の初期値で、それぞれの最大値で規格化したローレンツプロットをして、まとめて右図のようなグラフを作成してみたら面白いかもしれません。左図も同時進行で。
各点の値を最大値3077で割った場合のローレンツプロット（右）
では本論に入ります。
図６－３は第２章、ほか章でも紹介した図６－１上図の４２個の正奇数値$${No}$$をＣ変換した値$${c(No)}$$を用いたグラフ、ＣＳ振動図です。
ローレンツプロットする前の段階で図６－１下図と比較して遥かに周期性や規則性が見られますから、ローレンツプロットすれば図６－２右図よりも、より規則性が見られるのは当然といえます。
Ｃ変換したローレンツプロットが図６－４でＣＳ直線も含めたグラフは幾つかの前章で既に紹介しました。具体的には$${(c(27),c(41))}$$,$${((c(41),c(31))}$$, $${\cdots}$$ $${(c(53),c(5))}$$,$${(c(5),c(1))}$$の計４１個の値をプロットしたグラフです。
$${c(No)}$$は0以上1未満の値ですが、図６－２右図のように最大値で規格化した値ではありません。Ｃ変換そのものが本質的に$${No}$$値を0以上1未満の値へと導きます。
６．１．２ CSプロットクモの巣グラフの見方
図６－４にＣＳ直線、$${ f_{c}(x) , f_{s}(x)}$$（実線）を加え、さらにクモの巣グラフとしたのが図６－５です。
$$
\begin{array}{}
&(6.1)& & f_{c}(x)=\cfrac{3}{2}x+\cfrac{1}{2}& &(0\le x <1/3)& \\\\\
&(6.2)& & f_{s}(x)=\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{4}& &(1/3\le x <1)
\end{array}
$$
水平垂直補助線が多数ありすぎて、ステップ経緯がよくわかりませんので
最初の４点と最後の４点のクモの巣グラフを図６－６に示しました。
図６－６のz値は以下の通りです。
$${z_0=(c(27),c(41))}$$
$${z_1=(c(41),c(31))}$$
$${z_2=(c(31),c(47))}$$
$${z_3=(c(47),c(71))}$$
$${z_{38}=(c(23),c(35))}$$
$${z_{39}=(c(35),c(53))}$$
$${z_{40}=(c(53),c(5))}$$
$${z_{41}=(c(5),c(1))}$$
第３章で正奇数$${mo}$$に１ステップで到達する奇数列を$${cs(mo)}$$と定義しました。１ステップで$${1}$$に到達する$${cs(1)}$$は
$${cs(1)=\{1,\ 5, \ 21, \ 85, \cdots\}}$$で要素の数は無数にあります。
また$${c(1)=0}$$です。また$${c(No)=0}$$となる正奇数$${No}$$は$${1}$$以外はありません。従ってＣＳ（ローレンツ）プロットでは最終点は必ずｘ軸上にあります。最終点以外の点は全てｘ軸よりも上にあります。$${1}$$は唯一１ステップで１に到達する周期１の数で$${(c(1),c(1))=(0,0)}$$で最終点しかありません。
さらに$${1}$$に到達後は一般コラッツ空間では$${1 \to 1\to 1 \to \cdots}$$ですので、そこまで拡張すると、最終到達点はどれも原点$${(0,0)}$$となります。
６．１．３ コラッツ予想と同値なＣＳ空間上の命題（弱い命題）
以上から、一般コラッツ空間におけるコラッツ予想（奇数なら３倍して１を足す。偶数ならば２で割る。これを繰り返すとどんな正整数も有限回で１に到達する）と同値なＣＳ空間上の命題（弱い命題）は、
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$${\bm{cs(1)}}$$に属する正奇数の要素を$${\bm{O}}$$とし、 そのC変換$${\bm{c(O)}}$$および正奇数$${\bm{No}}$$のＣ変換$${\bm{c(No)}}$$において、ＣＳ空間上のＣＳプロットでは、どんな$${\bm{c(No)}}$$も有限回でｘ軸上の点、$${\bm{(c(O),0)}}$$に到達し、最終到達点は原点$${(0,0)}$$となる。
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CSプロット点はＣＳ直線上には全ての点が完全に乗っておらず、必ずずれており、近くに存在しています。
（強い命題ではＣＳ直線上に乗ります！）。
偶数に関しては一般コラッツ空間でも必ずある奇数に到達するから考慮しなくてもいいわけですが、CS空間では例えば $${13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1}$$ において$${c(40)=c(20)=c(10)=c(5)}$$や$${c(16)=c(8)=c(4)=c(2)=c(1)}$$などとなるため、偶数は必然的に考慮しなくてもよいことも第２章２．３で説明しました。
記事内容や証明で「なるほど」とお感じになったら、評価の程よろしくお願いいたします。今後の解析の奮起につながります。
第６章６．１までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ直線、Ｓ変換、ＣＳ空間、
ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、究極的な周期点、クモの巣図法、不動点、最終点、最終到達点
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${c(No)}$$、$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、距離$${D}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${cs(mo)}$$、$${Mo}$$、$${s(Mo)}$$、$${O}$$、
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