コラッツ予想解明への新解析手法の紹介４ー 問題の意味が小学生でもわかる数学の高額懸賞金歴史的未解決問題
第３章 奇数の分類
今回の記事（４回目）をご覧になる前に「第１章 新手法の紹介の前に」をご覧ください。
また第１章には各章へのリンクが貼ってあります。
今回の記事（４回目）は他の章とは独立しており、既にコラッツ予想の解明に取り組んでいる読者には馴染みのある内容で、知識の再確認として目を通していただければと思います。また解明に取り組み始めた読者には必ず身につけておきたい知識です。
第４章以降の説明のためにはコラッツルールに従った奇数分類を説明する必要があります。この奇数分類を表す式はネット上でも論文でもよく見ますが、見た目は異なっても類似式です（もしくは見た目も同じ式もあるはずです）。
３．1 奇数の分類（Nc型とNs型）
奇数なら３倍して１を足す操作を３C＋１変換と呼ぶことにします（第２章２．３）。また、この変換で偶数になりますが、２で割るだけ割ってある奇数に到達するまでの操作を３Ｓ＋１変換と呼ぶことにします。
ステップは奇数のみ追跡します（$${13 \to 5 \to 1}$$は２ステップ：第１章）。
正奇数$${No}$$は３Ｃ＋１変換により偶数となりますが、偶数は正奇数$${m_{o}}$$と２のべき乗、$${2^{n}}$$の積として表すことができます。$${n}$$は正整数。
$${(3.1) 3No+1=m_{o} \cdot 2^n }$$
合同式は高校数学では習いませんが、この記事では以下で十分です。
$${m_{o}}$$において、３で割って２余る数であれば$${m_{c}}$$とおき、
$${m_{c}\equiv ２ (mod 3)}$$、または略して、$${m_{c}\equiv ２}$$と表すことにします。
$${m_{o}}$$において、３で割って１余る数であれば$${m_{s}}$$とおき、
$${m_{s}\equiv １ (mod 3)}$$、または略して、$${m_{s}\equiv １}$$と表すことにします。
また、
$${1\cdot 1\equiv 1 2\cdot 2\equiv 1 2\cdot 1 \equiv 2 1\cdot 2\equiv 2 }$$
$${p}$$を正整数として、$${2^{2p} \equiv 1}$$、$${2^{2p-1} \equiv 2}$$
(3.1)で$${3No+1 \equiv 1}$$なので、右辺は$${1\cdot 1}$$か$${2\cdot 2}$$の組み合わせしかありません。$${m_{o}}$$は３の倍数にはなりえません。
$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$に応じて$${No}$$を$${Nc}$$、$${Ns}$$に分類し
$${(3.2) 3Nc+1=m_{c} \cdot 2^{2p-1} }$$
$${(3.3) 3Ns+1=m_{s} \cdot 2^{2p}}$$
また、$${m_{c}(\equiv 2)}$$、$${m_{s}(\equiv 1)}$$は、０以上の整数$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$を用いて
$${(3.4) m_{c}=6t_{c}+5}$$
$${(3.5) m_{s}=6t_{s}+1}$$
とおきます。(3.4)、(3.5)をそれぞれ(3.2)、(3.3)に代入して、
$${(3.6) 3Nc+1=(6t_{c}+5) \cdot 2^{2p-1} }$$
$${(3.7) 3Ns+1=(6t_{s}+1) \cdot 2^{2p}}$$
$${Nc}$$、$${Ns}$$について整理して
$${(3.8) Nc(t_{c},p)=t_{c}2^{2p}+\cfrac{5 \cdot 2^{2p}-2}{6}}$$
$${(3.9) Ns(t_{s},p)=t_{s}2^{2p+1}+\cfrac{2^{2p}-1}{3}}$$
正奇数$${No}$$を$${(t,p)}$$をパラメータとした２種の奇数$${Nc}$$型と$${Ns}$$型に分類できました（$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$は０以上の整数で単に$${t}$$とおくこともあります）。
３．2 Ｎｃ型とＮｓ型の特性
(3.8)、(3.9)で$${p=4}$$まで表してみると
$${(3.10) Nc=4t_c+3,\ 16t_c+13, \ 64t_c+53, \ 256t_c+213, \cdots}$$
$${(3.11) Ns=8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots}$$
右辺の要素は場合に応じて、$${4t+3}$$型、$${16t+13}$$型、$${8t+1}$$型、等とよぶこともあります。
(3.6)、(3.7)から、(3.10)、(3.11)は
$${Nc}$$は１ステップで$${6t_{c}+5}$$に到達する奇数列、
$${Ns}$$は１ステップで$${6t_{s}+1}$$に到達する奇数列です。
正奇数$${m_o}$$に１ステップで到達する奇数列を$${\bm{cs(m_o)}}$$とおくことにします。(3.10)、(3.11)は
$${(3.12) cs(6t_c+5)=\{4t_c+3,\ 16t_c+13, \ 64t_c+53, \ 256t_c+213, \cdots\}}$$
$${(3.13) cs(6t_s+1)=\{8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots\}}$$
(3.12)、(3.13)の簡単な例として$${t_{c}=t_{s}=0}$$とおいてみると
$${cs(5)=\{3,\ 13, \ 53, \ 213, \cdots\}}$$
$${cs(1)=\{1,\ 5, \ 21, \ 85, \cdots\}}$$
１ステップで１や５に到達する（馴染みのある）奇数列が現れました。要素の数は無数にあります。
$${6t+1}$$と$${6t+5}$$で３の倍数を除く全ての奇数が表示でき、これ等の奇数に到達する無限の要素をもつ奇数列があることがわかります。
見方を変えて、(3.12)の右辺の奇数列において、これ等は$${p}$$の異なる奇数列ですが同じ$${t_{c}}$$を持つ奇数列で、これ等は全て１ステップで$${t_{c}}$$のみに依存する奇数$${6t_c+5}$$に到達します。$${p}$$は関係なく$${t_{c}}$$の値が同じであれば、同じ値、$${6t_c+5}$$に１ステップで到達するわけです。$${t_{s}}$$についても同様です。
(3.12)と(3.13)の右辺の奇数列で全ての正奇数を表せるわけですが、
$${4t+3}$$型の奇数のみ３Ｓ＋１変換で$${6t+5}$$となり値が大きくなります。そのほかの奇数は全て３Ｓ＋１変換で値が小さくなります。全ての奇数は$${4t+3}$$型か$${4t+1}$$型なので、奇数の半分は３Ｓ＋１変換で値が大きくなり、残り半分は３Ｓ＋１変換で値が小さくなるわけです。
１ステップで元の奇数に戻る数は１しかないことは以下の通りです。
(3.1)で$${m_{o}=No}$$とおいて
$${3No+1=No \cdot 2^n }$$
$${(2^n-3)No=1}$$
左辺で掛けて1になるためには$${2^n-3=1}$$かつ$${No=1}$$
つまり$${n=2}$$かつ$${No=1}$$のみです。
(3.12)、(3.13)を詳しく見てみることにします。
(3.12)(3.13)の２式でコラッツルール（奇数なら３倍して１を足す。偶数ならば２を足す）に従う数字配列（正奇数配列）の全てを表しています（偶数は考慮しなくてもよい）。
上述したように(3.12)、(3.13)の２式の右辺の要素合わせて全ての奇数を表しています。全ての奇数はこの要素のいづれかに相当しています。
$${t}$$をいろいろ変えて２式の右辺に代入して、１ステップで到達する左辺の奇数を求めます。この時点で３の倍数は取り除かれます。１ステップで到達する数は$${6t+5}$$型か$${6t+1}$$型の奇数です。奇数なので(3.12)、(3.13)の２式の右辺の要素のいずれかになります（再び戻ります）。ただし最初の$${t}$$とは異なります。これを繰り返すと奇数のツリー（樹形図）が出来上がります。これを（一般）コラッツ空間の数字配列とよぶことにします。一般、は４章以降でもう一つの空間と区別する時に入れることもあります。
一例で説明します。初期値として１７を取ります。
$${17}$$は$${17=8\cdot 2+1}$$なので$${8t+1}$$型で$${t=2}$$です。これは$${6t+1}$$に１ステップで移り、値は$${13}$$です。ところが$${13}$$に移る奇数は同じ$${t}$$を持つ(3.13)式の右辺の全ての奇数で、$${t=2}$$を代入して$${17, 69, 277,\cdots}$$です。これらは全て同じ$${13}$$に移ります。
次に$${13}$$は$${13=16\cdot 0+13}$$なので$${16t+13}$$型に属し、$${t=0}$$です。$${t=0}$$である(3.12)式の右辺は$${3,13,53,\cdots}$$で、これ等は全て$${6\cdot 0+5=5}$$に移ります。これを繰り返します。
こうしてコラッツ空間での全ての奇数のツリーが出来上がるわけですが、
最終的に１に到達するかどうかは別問題なわけです。ある１つの奇数から出発したら、どこか遠くの彼方までいってしまうかもしれませんし、逆にその奇数に戻ってしまうかもしれません。そうならないで全ての正奇数が１に到達するであろう、がコラッツ予想なわけです。（偶数はコラッツルールに従えば必ず奇数になりますので、全ての正奇数が１に到達するならば、全ての正整数が１に到達することになります）
奇数の分類とその特性をまとめてみました。さらにコラッツ予想に取り組み始めた読者の為に、追加特性などありましたらコメント欄にお願いします。
第３章までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、３Ｓ＋１変換、（一般）コラッツ空間、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${c(No)}$$、$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、距離$${D}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${cs(m_o)}$$
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