コラッツ予想解明への新解析手法の紹介５ー 問題の意味が小学生でもわかる数学の高額懸賞金歴史的未解決問題

Collatz Conjecture New Method

第４章　奇数の分類とＳ変換の関係

　今回の記事（５回目）をご覧になる前に「第１章　新手法の紹介の前に」をご覧ください。

　また第１章には各章へのリンクが貼ってあります。

　新手法の要約動画

４．１　前章までの概要

　第２章２．１＆２．２では、初期値として２７を例にとり、奇数$${No}$$のみを追跡して１に到達するまでの各ステップの奇数の値を縦軸にとったグラフ（上図左）のCS振動（上図中）を導く式、C変換$${\bm{c(No)}}$$を紹介し、全てのステップ点のＣＳプロットが（数値が大きい程）ＣＳ直線式の”近く”に存在している（上図右）ことを紹介しました。

　第２章２．３では更にＣＳ直線式（上図右実線）は初期値$${No}$$に依存しない直線式であることを示し、どんな初期値に対しても全てのステップ点のＣＳプロット点が（数値が大きい程）ＣＳ直線式の”近く”に存在していることを証明しました。また$${c(No)}$$の世界では偶数は必然的に考慮しなくてもよいことも説明しました。

　新手法記事では正奇数$${No}$$のみ追跡するとしています。例えば$${13 \to 5 \to 1}$$で２ステップと数えます。コラッツルール（奇数なら３倍して１を足す。偶数なら２で割る）に従う世界では特有の数字配列があります。例えば、１ステップで１に到達する奇数は$${1,5,21,85,341,\cdots}$$と無数にあります。１に限らず、３の倍数を除く正奇数$${mo}$$（３の倍数には到達しませんので、これを除く正奇数）は、これに到達する無数の要素からなる奇数列があることは第３章で説明しました。この奇数列を$${\bm{cs(mo)}}$$と定義しました。上記奇数列は$${cs(1)}$$に相当します。

　Ｃ変換を施したＣＳプロット点はｘ座標もｙ座標も０以上１未満の範囲になります（上図右）。正奇数$${No}$$にＣ変換，$${c(No)}$$、および以下で定義するＳ変換$${\bm{s(No)}}$$を施して、こちらの世界に上記の特有数字配列を引き込みたいわけです。こちらの世界をＣＳ空間とよぶことにします。

　第４章は任意の正奇数$${No}$$を初期値とするＣＳプロット点をＣＳ直線式に”近く”でなくて”完全に”のせる方法の直前の章でもあります。単に形式的にのせるのではなく、コラッツ予想特有の数字配列$${cs(mo)}$$との関係を導き出すための章であります。

　第４章までの知識があれば任意の正奇数を初期値としたステップ途中の正奇数も含め全てＣＳ直線式に乗せることができる山となる章です。

　下図は初期値２７の場合のＣＳ空間でのプロット点とＣＳ直線（実線）の例です。完全にプロット点はＣＳ直線上にあります。Ｃ変換とＳ変換を交互に組み合わせることにより可能となります。一般コラッツ空間の数字ツリーがＣＳ空間では、この２直線上に全て乗ってしまうのです。

　交互組み合わせは第６章６．２での説明となります。

　

図４ー１　ＣＳ空間上で初期値２７の場合のステップ途中の正奇数も含め
ＣＳ直線上に完全に乗せたプロット点
（どんな初期値から出発しても必ずＣＳ直線上にプロット点は存在する）

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第４章までの変数・定義語・関数

$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換（一般）コラッツ空間、ＣＳ直線、Ｓ変換、
ＣＳ空間、ｔツリー、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${c(No)}$$、$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、距離$${D}$$、
$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${cs(mo)}$$、$${Mo}$$、$${s(Mo)}$$、

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４．２　Ｓ変換の定義と具体例