play with a straight bat / 正直

イギリス英語の表現、というより、クリケット由来の表現です。アメリカだと野球由来の表現（例えば touch base on や ballpark figure など）があるように、イギリスではクリケット由来の表現がある、ということですね。

"Play with a straight bat" もしくは with を除いて "play a straight bat" で「真っ直ぐなバットでプレイする」から転じて「正直である」や「正々堂々と振る舞う」を意味します。

例えば "We play with a straight bat." で「我々は正々堂々と振る舞う」のような感じですね。

クリケットは詳しくないので、わかりませんが、日本語でいう「性根が曲がる」と似た感じで、やっぱり曲がってたらひん曲がっていて、真っ直ぐだと誠実さを出している、みたいな暗喩なのかなぁと思っています。曲がったバットだと打つのが有利になるとはなんとなく思えないので……笑。

「あいつは誠実だ」などと言いたいときに "He/She plays (with) a straight bat." などと使ってみてください。