日本医科大学２０２３年度（前期）入学試験 [3]

問題

解答

(1)

$${\displaystyle\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n+2}}$$ を展開して得られる各項は $${\displaystyle\frac32x^2,\frac32x,1}$$ を重複をゆるして$${n+2}$$ 個選んで掛けたものである.
このうち次数が $${x^3}$$ となるのは $${\displaystyle\frac32x^2}$$ と $${\displaystyle\frac32x}$$ を1個ずつと  1 を $${n}$$ 個選んだものと, $${\displaystyle\frac32x}$$ を3個と 1 を $${(n-1)}$$ 個選んだものである.
前者は $${(n+2)(n+1)}$$ 通りの選び方があり, 後者は $${{}_{n+2}{\mathrm C}_3=\frac{(n+2)(n+1)n}6}$$ 通りの選び方がある.  よって, 展開式の $${x^3}$$ の係数は

$$
\frac94(n+1)(n+2)+\frac{27}{8}\frac{n(n+1)(n+2)}6 =\frac9{16}(n+1)(n+4)
$$

である

(1) 別解1

二項定理より

$$
\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n+2}=\left(\frac32x(x+1)+1\right)^{n+2}
=\sum_{k=0}^{n+2}{}_{n+2}{\mathrm C}_k\left(\frac32x(x+1)\right)^k
$$

よって, 3次の係数を求めるには $${k=2,3}$$ だけを考えれば十分である.

$$
\begin{array}{cl}
&{}_{n+2}{\mathrm C}_2\left(\frac32x(x+1)\right)^2
+{}_{n+2}{\mathrm C}_3\left(\frac32x(x+1)\right)^3\\[2mm]
=&\displaystyle \frac{9(n+2)(n+1)}{8}x^2(x+1)^2
+\frac{27(n+2)(n+1)n}{48}x^3(x+1)^3
\end{array}
$$

したがって, 3次の係数は

$$
\frac{9(n+2)(n+1)}{8}\cdot2+\frac{9(n+2)(n+1)n}{16}
=\frac9{16}(n+1)(n+2)(n+4)
$$

である.

(1) 別解2

$${\displaystyle P(x)=\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n+2}}$$ とおく. $${P(x)}$$ の3次の係数は $${\displaystyle\frac16P'''(0)}$$ である.

$$
\begin{array}{lcl}
P'(x)&=&\displaystyle
(n+2)\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n+1}\left(3x+\frac32\right)\\
P''(x) &= &\displaystyle
(n+2)(n+1)\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n}\left(3x+\frac32\right)^2
+3(n+2)\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n+1} \\
P'''(x) &= &\displaystyle
(n+2)(n+1)n\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n-1}\left(3x+\frac32\right)^3
+(n+2)(n+1)\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n}6\left(3x+\frac32\right)\\
&& \displaystyle +3(n+2)(n+1)\left(\frac32x^2+\frac32x+1\right)^{n}\left(3x+\frac32\right)\\
P'''(0)&=&\displaystyle (n+2)(n+1)n\left(\frac32\right)^3+9(n+2)(n+1)+\frac92(n+2)(n+1)
=(n+2)(n+1)\left(\frac{27}8n+\frac{27}2\right)\\
\displaystyle\frac16P'''(0)&= & \displaystyle(n+2)(n+1)\left(\frac{9}{16}n+\frac{9}4\right)
=\frac9{16}(n+1)(n+2)(n+4)
\end{array}
$$

(2)

$${B(n)=n(n+1)(n+2)(c_1n+c_0)}$$ とおく.

$$
\begin{array}{lcl}
B(n+1)-B(n) &=& (n+1)(n+2)(n+3)(c_1n+c_0+c_1)- n(n+1)(n+2)(c_1n+c_0)\\
&= & (n+1)(n+2)(4c_1n+3c_0+3c_1)
\end{array}
$$

$${\displaystyle c_1=\frac9{64}}$$, $${\displaystyle c_1=\frac{39}{64}}$$ のとき  $${B(n+1)-B(n)=A_n}$$ が成り立つ. 
よって

$$
\begin{array}{l}
\begin{array}{lcclccl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}A_k &=&& A_1 &= & & B(2)-B(1)\\
&&+& A_2 & &+& B(3)-B(2)\\
&&&\vdots && & \vdots \\
&&+& A_{n-1}& &+ & B(n)-B(n-1)\\
&&+& A_{n} & & + & B(n+1)-B(n)\\
\end{array}\\
\displaystyle\ \ \sum_{k=1}^{n}A_k =B(n+1)-B(1)
\end{array}
$$

したがって

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n}A_k &=&
\displaystyle \frac1{n^4}\left(B(n+1)-B(1)\right)\\
&=&\displaystyle\frac1{n^4}\left(n(n+1)(n+2)(c_1n+c_0)-B(1)\right)\\[2mm]
&=&\displaystyle\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\left(c_1+\frac{c_0}n\right)-\frac{B(0)}{n^4}\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n}A_k}&=&
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)
\left(c_1+\frac{c_0}n\right)
-\frac{B(0)}{n^4}\right)} \\
&= &\displaystyle(1+0)(1+0)(c_1+0)-0=c_1=\frac9{64}
\end{array}
$$

(2) 別解

公式

$$
\sum_{k=1}^nk=\frac12n(n+1),\quad
\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1),\quad
\sum_{k=1}^nk^3=\frac14n^2(n+1)^2
$$

を用いて

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{k=1}^nA_k&=&\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac9{16}(k+1)(k+2)(k+4)
=\sum_{k=1}^n\frac9{16}\left(k^3+7k^2+14k+8\right)\\
&=&\displaystyle\frac9{16}\left(\frac14n^2(n+1)^2+\frac76n(n+1)(2n+1)+7n(n+1)+8n\right)\\[2mm]
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n}A_k} &=&
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac9{16}\left(\frac14\left(1+\frac1n\right)^2
+\frac7{6n}\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)
+\frac7{n^2}\left(1+\frac1n\right)+\frac8{n^3}
\right)}\\
&=&\displaystyle\frac9{16}\left(\frac14+0+0+0\right)=\frac9{64}
\end{array}
$$

(3)

部分分数分解

$$
\frac1{A_n}=\frac{16}9\cdot\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+4)}
=\frac8{27}\left(\frac2{n+1}-\frac3{n+2}+\frac1{n+4}\right)
$$

を用いて $${\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1{A_k}}$$ を書き下すと

$$
\begin{array}{llllll}
&\frac{8}{27}\cdot\frac22
&-&\frac8{27}\cdot\frac33
&+ &\frac8{27}\cdot\frac15 \\[2mm]
&\frac{8}{27}\cdot\frac23
&-&\frac8{27}\cdot\frac34
&+ &\frac8{27}\cdot\frac16 \\[2mm]
&\frac{8}{27}\cdot\frac24
&-&\frac8{27}\cdot\frac35
&+ &\frac8{27}\cdot\frac17 \\[2mm]
&\frac{3}{32}\cdot\frac25
&-&\frac8{27}\cdot\frac36
&+ &\frac8{27}\cdot\frac18 \\[2mm]
&\frac{8}{27}\cdot\frac26
&-&\frac8{27}\cdot\frac37
&+ &\frac8{27}\cdot\frac18 \\
& \ \vdots&&\ \vdots&&\ \vdots\\
&\frac{8}{27}\cdot\frac2{n-1}
&-&\frac8{27}\cdot\frac3{n}
&+ &\frac8{27}\cdot\frac1{n+2} \\[2mm]
&\frac{8}{27}\cdot\frac2{n}
&-&\frac8{27}\cdot\frac3{n+1}
&+ &\frac8{27}\cdot\frac1{n+3} \\[2mm]
&\frac{8}{27}\cdot\frac2{n+1}
&-&\frac8{27}\cdot\frac3{n+2}
&+ &\frac8{27}\cdot\frac1{n+4}
\end{array}
$$

となるので

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{A_k}&=&
\displaystyle\frac8{27}\left(1-\frac13-\frac14-\frac2{n+2}+\frac1{n+3}+\frac1{n+4}\right)\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{k=1}^{n}\frac1{A_k}}&=&
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac8{27}\cdot\frac5{12}-\frac{16}{27(n+2)}+\frac8{27(n+3)}+\frac8{27(n+4)}\right)}
=\frac{10}{81}
\end{array}
$$

(4)

設問 (1) より $${a_n+b_n+c_n=3n+7}$$ である.  $${\displaystyle L_n=\log\frac1{n^2}\left\{\frac{(3n+7)!}{n!}\right\}^{\frac1n}}$$ とおくと $${\displaystyle\frac{(3n+7)}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots(3n+7)}$$ であり

$$
\quad = \displaystyle
\frac1n\left(\log(n+1)+\log(n+2)+\cdots+\log(3n+7)\right)-2\log
$$

$$
L_n = \displaystyle
\log\left(\frac1{n^2}\left((n+1)(n+2)\cdots(3n+7)\right)^{\frac1n}\right)\hspace{3cm}
\tag1
$$

$$
\begin{array}{lcl}
&=& \displaystyle
\frac1n\left(\log(n+1)+\log(n+2)+\cdots+\log(3n+7)\right)-2\log n
\end{array}
$$

$$
L_n = \frac1n\sum_{k=n+1}^{3n+7}\log k-2\log n \hspace{5.7cm}\tag2
$$

図1

図1より

$$
\int_{n}^{3n+7}{\log x}dx
\leqq \sum_{k=n+1}^{3n+7}\log k
\leqq\int_{n+1}^{3n+8}{\log x}dx
$$

$$
\int_{n}^{3n}{\log x}dx
\leqq \sum_{k=n+1}^{3n+7}\log k
\leqq\int_{n}^{3n+8}{\log x}dx\tag3
$$

$$
\begin{array}{l}
\displaystyle\int_{n}^{3n}{\log x}dx=\left[{x\log x -x}\right]_{n}^{3n}
=3n\log(3n)-3n-(n\log n-n)=n\left(2\log n+\log\frac{27}{e^2}\right)\\[5mm]
\displaystyle\int_{n}^{3n+8}{\log x}dx=\left[{x\log x -x}\right]_{n}^{3n+8}
=n\left(\log\frac{(3n+8)^3}n-2\right)+8\log(3n+8)-8
\end{array}
$$

(2), (3) より

$$
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac1n\cdot n\left(2\log n+\log\frac{27}{e^2}\right)-2\log n
\leqq L_n
\leqq \frac1n\left(n\left(\log\frac{(3n+8)^3}n-2\right)+8\log(3n+8)-8\right)
-2\log n\\[4mm]
\displaystyle\log\frac{27}{e^2}\leqq L_n
\leqq\log\left(3+\frac8n\right)^3-2+\frac{8\log(3n+8)-8}n\\[4mm]
 \displaystyle\log\frac{27}{e^2}\leqq\lim_{n\rightarrow\infty}{L_n}\leqq
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\log\left(3+\frac8n\right)^3-2+\frac{8\log(3n+8)-8}n\right)}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\log\left(3+\frac8n\right)^3}=\log27\\[3mm]
&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\log(3n+8)}n}=
\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{3n+8}n\cdot\frac{\log(3n+8)}{3n+8}}\\[2mm]
=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(3+\frac8n\right)\cdot\frac{\log(3n+8)}{3n+8}}
=3\cdot0=0
\end{array}
$$

したがって $${\displaystyle\log\frac{27}{e^2}\leqq \lim_{n\rightarrow\infty}{L_n}\leqq \log27-2+0-0=\log\frac{27}{e^2}}$$ であり

$$
\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac1{n^2}\left\{\frac{(3n+7)!}{n!}\right\}^{\frac1n}}
=\frac{27}{e^2}
$$

を得る.

(4)別解

前の解の (1) より

$$
\begin{array}{lcl}
L_n&=&\displaystyle
\log\left(\frac{(n+1)(n+2)\cdots(3n+7)}{n^{2n}}\right)^{\frac1n}\\ &=&\displaystyle
\frac1n\log\left(\frac{n+1}n\cdot\frac{n+2}n\cdots\frac{n+2n}n
\cdot(3n+1)\cdots(3n+7)\right)\\
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{lcl}
L_n&=&\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)
+\frac{\log(3n+1)}n+\cdots+\frac{\log(3n+1)}n 
\end{array} \tag4
$$

区分求積法を用いると

$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)}
&=&\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2-0}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)}
=\int_0^2{\log(1+x)}dx\\
&=&\displaystyle\left[{(1+x)\log(1+x)-x}\right]_0^2=3\log3-2\\
&=&\displaystyle\log\frac{27}{e^2}
\end{array}
$$

$${k=1,2,\dots,7}$$ のとき

$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\log{3n+k}}n}
&=&
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{3n+k}n\cdot\frac{\log(3n+k)}{3n+k}}\\
&=&
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(3+\frac kn\right)\frac{\log(3n+k)}{3n+k}}
=(3+0)\cdot0=0
\end{array}
$$

(4) より $${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{L_n}=\log\frac{27}{e^2}}$$ を得る.

解説

(1)

実際の入学試験のように導出過程を記述する必要がない場合は最初の解法や別解1が効率的だと思われるが, 導出過程を記述する場合は別解2 の方法も有力である.

(2)

最初の解法には天下り的な印象をもつかもしれない. 別の記事で, 多項式 $${f(k)}$$ について $${\displaystyle\sum_{k=1}^nf(k)}$$ を求める方法に関する一般論を展開するのでそちらを参考にしてほしい.

(3)

部分分数分解以外の方法は思いつかなかった.

(4)

設問中のヒント $${\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}{\frac{\log t}t}=0}$$ から対数をとることを考えるのは自然である. 区分求積法を用いる方法とはさみうちの原理を用いる方法を紹介したが導出過程も記述するのは簡単ではない.
最後に, 対数を取らずに直接極限値を計算する方法について述べておく.
直接計算するには $${\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(n!)^{\frac1n}}n}=\frac1e}$$ を示すのが肝心である. これを認めると

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac1{n^2}\left\{\frac{(3n+7)!}{n!}\right\}^{\frac1n}}\\
=& \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{(3n+7)^{\frac1n}(3n+6)^{\frac1n}\cdots(3n+1)^{\frac1n}
\frac{((3n)!)^{\frac1n}}{n^3}\frac{n}{(n!)^{\frac1n}}}\\
=& \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{27(3n+7)^{\frac1n}(3n+6)^{\frac1n}\cdots(3n+1)^{\frac1n}
\left(\frac{((3n)!)^{\frac1{3n}}}{3n}\right)^3\frac{n}{(n!)^{\frac1n}}}\\
=&\displaystyle27\cdot1\cdots1\cdots1\left(\frac1e\right)^3 e=\frac{27}{e^2}
\end{array}
$$

ここで $${k=1,2,\dots,7}$$ について

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle\log(3n+k)^{\frac1n}=\frac1n\log(3n+k)\\
=&\displaystyle \left(3+\frac kn\right)\frac{\log(3n+k)}{3n+k}
\longrightarrow  3\cdot0=0
\quad(n\rightarrow\infty)
\end{array}
$$

より $${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{(3n+k)^{\frac1n}}=1}$$ である.

極限 $${\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(n!)^{\frac1n}}n}=\frac1e}$$ と自然対数の底(ネイピア数) $${e}$$ に関する記事を別に掲載するのでそちらも参考にしてほしい.

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