多項式で表される数列の和

概要

多項式 $${p(x)}$$ に対して $${\displaystyle\sum_{k=1}^np(k)}$$ を求める方法を述べる.
この方法で $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)}$$,  $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\frac14n^2(n+1)^2}$$ を導く.

主定理

$${m}$$ 次多項式 $${f_m(x)}$$ を $${f_m(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x-m+1)}$$ と定める. とくに $${f_0(x)=1}$$ とする.

命題1      $${m\geq0}$$ のとき $${\displaystyle f_{m}(x)=\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(x)-f_{m+1}(x-1)\right)}$$ である.

証明   $${m\geqq1}$$ のとき

$$
\begin{array}{lcl}
&& f_{m+1}(x)-f_{m+1}(x-1)\\
&=& x(x+1)(x+2)\cdots(x+m)-(x-1)x(x+1)\cdots(x+m-1) \\
&=& x(x+1)\cdots(x+m-1)\left(x+m-(x-1)\right)\\
&=& (m+1)x(x+1)\cdots(x+n-1)=(m+1)f_{m}(x)
\end{array}
$$

より $${\displaystyle f_{m}(x)=\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(x)-f_{m+1}(x-1)\right)}$$ を得る. この式が $${m=0}$$ のときに成り立つことも明らかである.     □

定理2     $${a\lt b}$$ のとき $${\displaystyle \sum_{k=a}^bf_m(k) =\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(b)-f_{m+1}(a-1)\right)}$$ が成り立つ.
とくに,  $${\displaystyle\sum_{k=1}^nf_m(k)=\frac1{m+1}f_{m+1}(n)}$$ である.

証明   命題1 より

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{k=a}^bf_m(k)&=&
\displaystyle \sum_{k=a}^b\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(k)-f_{m+1}(k-1)\right)\\
&=&\displaystyle  \frac1{m+1}\sum_{k=a}^b\left(f_{m+1}(k)-f_{m+1}(k-1)\right)
\end{array}
$$

$${\displaystyle\sum_{k=a}^b\left(f_{m+1}(k)-f_{m+1}(k-1)\right)}$$ を書き下すと

$$
\begin{array}{clcl}
& f_{m+1}(a) & - & f_{m+1}(a-1)\\
& f_{m+1}(a+1) & - & f_{m+1}(a)\\
& f_{m+1}(a+2) & - & f_{m+1}(a+1)\\
&  \quad \vdots  & & \quad\vdots\\
& f_{m+1}(b-1) & - & f_{m+1}(b-2)\\
& f_{m+1}(b) & - & f_{m+1}(b-1)\\
\hline
=&f_{m+1}(b)&-&f_{m+1}(a-1)
\end{array}
$$

となるので

$$
\sum_{k=a}^bf_m{k}=\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(b)-f_{m+1}(a-1)\right)
$$

が成り立つ.
さらに, $${f_{m+1}(0)=0}$$ だから

$$
\sum_{k=1}^n f_m(k)=\frac1{m+1}\left(f_{m+1}(n)-f_{m+1}(0)\right)
=\frac1{m+1}f_{m+1}(n)
$$

を得る.       □

定理3      任意の $${m}$$次多項式 $${p(x)}$$ は定数 $${c_0,c_1,\dots,c_m}$$ を用いて

$$
p(x)=\sum_{j=0}^mc_jf_j(x)
$$

と表すことができる.

証明   多項式 $${p_0(x)=p(x)}$$ とおき, $${j=1,2,\dots,m}$$ について多項式 $${p_j(x)}$$ と定数 $${c_{j-1}}$$ を帰納的に定める.
$${p_{j-1}(x) を}$$1次式 $${x+j-1}$$ で割った商と余りをそれぞれ $${p_j(x), c_j}$$ とする. すると $${j=0,1,\dots,m-1}$$ について

$$
\displaystyle p_j(x)=(x+j)p_{j+1}(x)+c_j\tag1
$$

が成り立つ.

$${f_0(x)=1, f_1(x)=x}$$ だから

$$
p(x)=p_0(x)=x p_{1}(x)+c_0=p_1(x)f_1(x)+c_0f_0(x)
$$

が成り立つ. $${f_2(x)=(x+1)f_1(x)}$$ だから (1) より

$$
\begin{array}{rcl}
p(x) &=& p_1(x)f_1(x)+c_0f_0(x)
=(x+1)(p_2(x)+c_1)f_1(x)+c_0f_0(x)\\
&=&(x+1)f_1(x)p_2(x)+c_1f_1(x)+c_0f_0(x)\\
&=&f_2(x)p_2(x)+c_1f(x)+c_0f_0(x)
\end{array}
$$

$${f_j(x)=(x+j-1)f_{j-1}(x)}$$ に注意してこれを続けると

$$
p(x)=f_m(x)p_m(x)+\sum_{j=0}^{m-1}c_jf_j(x)
$$

となる.  ここで $${\deg p_m=\deg p_{m-1}-1=\cdots=\deg p_0(x)-m=0}$$
だから $${p_m(x)}$$ は定数である. $${c_m=p_m(x)}$$ とおくと

$$
p(x)=\sum_{j=0}^{m}c_jf_j(x)
$$

を得る.   □

与えられた多項式に対して定理3で $${f_0(x), f_1(x), \dots}$$で表し, 定理2 で和を計算すると多項式で表された数列の和を求めることができる.  次節ではこの方法でいくつかの例を計算する.

ここでは必要ないので定理では言及しなかったが,  定数 $${c_0,c_1,\dots,c_m}$$ は一意的に定まる.

例題

$${x=f_1(x)}$$ だから$${\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\frac12f_2(n)=\frac12n(n+1)}$$
である.

公式4     $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac16n(n+1)(2n+1)}$$

証明   $${x^2=x^2+x-x=x(x+1)-x=f_2(x)-f_1(x)}$$ だから

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2&= &
\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(f_2(k)-f_1(k)\right)
=\displaystyle\sum_{k=1}^nf_2(k)-\sum_{k=1}^nf_1(k)\\[4mm]
&=&\displaystyle\frac13f_3(n)-\frac12f_2(n)
=\frac13n(n+1)(n+2)-\frac12n(n+1)\\[3mm]
&=&\displaystyle\frac16n(n+1)(2(n+2)-3)
=\frac16n(n+1)(2n+1) \quad □
\end{array}
$$

公式5     $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\frac14n^2(n+1)^2}$$

証明   $${x^3}$$ を $${f_1(x)=x}$$ で割った商は $${x^2}$$, 余りは $${0}$$ だから $${\displaystyle x^3=x^2f_1(x)+0f_0(x)}$$ である.
$${x^2}$$ を $${x+1}$$ で割った商は $${x-1}$$ 余りは 1 だから

$$
x^3=(x-1)f_2(x)+f_1(x)
$$

$${x-1=1(x+2)-3}$$ より

$$
x^3=f_3(x)-3f_2(x)+f_1(x)
$$

である. よって

$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3&= &
\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(f_3(k)-3f_2(k)+f_1(k)\right)\\[4mm]
&=& \displaystyle\frac14f_4(n)-\frac33f_3(n)+\frac12f_2(n)\\[5mm]
& =&\displaystyle\frac14n(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)+\frac12n(n+1)\\[4mm]
&= & \displaystyle\frac14n(n+1)((n+2)(n+3)-4(n+2)+2)\\[4mm]
&=&\displaystyle\ \frac14n(n+1)(n^2+n)\\[4mm]
&=&\displaystyle\frac14n^2(n+1)^2\quad     □
\end{array}
$$

問題1      $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^4}$$ を $${n}$$ の式で表せ.

問題2     $${\displaystyle\sum_{k=1}^n(k+1)(k+2)(k+4)}$$ を $${n}$$ の式で表せ.

解