極限値の計算 日本医科大学の2023年度入学試験の問題から

スターリングの公式を用いて

極限値を求める前にスターリングの公式を紹介する.

定理1（スターリング(Stirling)の公式）$${\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n!, e^n}{n^{n+\frac12}}=\sqrt{2\pi}}$$

スターリングの公式によると自然数 $${n}$$ が大きくなると $${n!}$$ は
$${\displaystyle \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n}$$ で近似できることになる. 目標の極限値に関していえば $${n!}$$ を $${\displaystyle \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n}$$ で置き換えて極限値を計算するというアイディアを思いつく. $${\displaystyle  \frac{n!}{n^n}=\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\cdot\frac{n^{\frac12}}{e^n}}$$ だから両辺の $${n}$$ 乗根をとると.

$$
\frac{(n!)^{\frac1n}}{n} =
\left(\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n}\cdot n^{\frac1{2n}}
\cdot\frac1e
$$

スターリングの公式より $${n}$$ が大きくなれば $${\displaystyle \left(\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n}}$$ は $${\left(\sqrt{2\pi}\right)^{\frac1n}}$$ と思えるので極限値は 1 になる.
証明を記述するなら例えば 

---

スターリングの公式より十分大きい自然数 $${n}$$ について $${\displaystyle 1\leqq \left(\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n}\leqq 3^{\frac1n}}$$
が成り立つから

$$
1\leqq \lim_{n\rightarrow\infty}
\left(\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n}
\leqq \lim_{n\rightarrow\infty}3^{\frac1n}=1
$$

より  $${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n! e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n} =1 }$$

---

とすればよい

$${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}n^{\frac1n}=1}$$ より $${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}n^{\frac1{2n}}=1^{\frac12}=1}$$ である.

したがって

$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n!)^{\frac1n}}{n} =
\lim_{n\rightarrow\infty}
\left(\frac{n!,e^n}{n^{n+\frac12}}\right)^{\frac1n}\cdot n^{\frac1{2n}}
\cdot\frac1e
=1\cdot1\cdot\frac1e=\frac1e
$$

が成り立つ.

さて， 残りはスターリングの公式の証明だがここでは扱わないので一松
([1]) を見てほしい. また, 杉浦 ([1]) や藤原 ([3]) には階乗の一般化である $${\Gamma}$$ 関数に関するスターリングの公式が記されている.

参考文献

[1] 杉浦光夫. 解析入門I. 基礎数学, No. 2. 東京大学出版会, 1980. ISBN13: 978-4130620055.
[2] 一松信. 解析学序説. 裳華房, 1981. ISBN-13: 978-4785310301.
[3] 藤原松三郎. 微分積分学改訂新編, 第1 巻. 内田老鶴圃, 2016. 浦川肇, 高木泉, 藤原毅夫編著ISBN13: 978-4753601639.

スターリングの公式を用いずに