ゼロからわかる合同式：オモワカ整数＃10(全21回)

整数シリーズ第１０回目
オモワカ＝面白いほどわかる
整数が面白いほどよくわかります
ぜひ第１回目からどうぞ！！　→→　１回目（倍数の判定）

合同式について

2と8は3で割った余りが等しいを式で表すと↑こうなります。

↑合同式はこのように足したり引いたりかけても成り立ちます。
その証明は以下をご覧ください。

合同式の和

合同式の積

合同式の積から、左右を何乗しても成り立ちます。

例題１：11の100乗を5で割った余りは？

左右を100乗できる。

答え：余り１

例題２：nを5で割った余りが3の時、n^2+5n+2を5で割った余りは？

↑めんどくさいやり方

↑合同式を用いたやり方

9を5で割ったら余り4
9≡4 (mod.5)

答え：余り１

問題１：2000の2000乗を12で割った時の余りを求めよ。

次数を小さくする工夫をする
8の4乗の余りは4なので、8の4乗≡4(mod.12)

4の5乗を12で割った時の余りは4なので、4の5乗≡4(mod.12)

繰り返し置き換えていき、次数を下げていく。

答え：余り４

問題２

9は7で割ると余り2

7で割る余りが-1ということは、余りが6であることと同じ。

答え：余り6

問題３

a1とa2を求めてみると↓

共通の素数は7のみ。
なのでこの式の共通の素数は7であると推測して、それを証明すれば良い。

19≡5  →  19^n≡5^n  これを用いて置き換える
次数を揃える工夫をする。
16≡2(mod.7)　これを用いて置き換える

余りが０なので7で割り切れる。

☆結論がわかっているので何とか0にするように工夫していくべし

問題４

6で割り切れる＝2の倍数かつ3の倍数
まずは2の倍数であることを証明する。

xとyのいずれかが偶数の時、xとyがともに奇数の時、余り０なので2の倍数である

次に3の倍数であることを証明する。

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