流体力学 ブラジウスの公式（例題編）
皆様おはこんばんちは。
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
今回は，第63回目として「ブラジウスの公式（例題編）」について紹介したいと思います。今回は，以前に投稿した「ブラジウスの第1公式」，「ブラジウスの第2公式」，「コーシーの積分定理」を使いますので，まだ知らない方はご確認ください。
（1）例題1
では，ブラジウスの第2公式を利用して翼の中心周りのモーメントMを求めてみましょう。以下に具体的な設問を示します。
流速u0の一様流れにおいて，平面翼（長さ4a）が迎え角αにて置かれた場合，翼の中心の周りのモーメントMは式（1）にて表されることをブラジウスの第2公式より導け。
はじめに，この状況を図示したものを図1に示します。図1は，x軸に適当な傾き角αをなす一様流れと循環を加えたz平面とジューコフスキー変換後のζ平面（平板翼：長さ4a）であり，過去の記事で取り扱った「翼理論（その4）」からの抜粋です。
今回は，翼の中心周りのモーメントMを求めるためにブラジウスの第2公式を使います。ブラジウスの第2公式を式（2）に示します。
ここで，図1に示したようにz平面からζ平面に変換するには，ジューコフスキー変換（式（3））が必要になります。
式（3）を式（2）に代入すると，式（4）のようになります。但し，ブラジウスの第2公式（式（2））を見るとz平面で議論が進むため，ζ平面に座標変換する必要があります。そのため，合成微分（チェーンルール）を使用することで，式（4）はｚ平面からζ平面に変換されたものになります。
次に，x軸に適当な傾き角αを持たせたことでz’平面として考えているため，任意の角度αを持った複素数z’→zに変換した円柱周りの複素ポテンシャルw(z)は，式（5）のようになります。
得られた式（5）をzについて微分した複素速度dw/dzを式（6）に示します。但し，ブラジウスの第2公式に代入する形式に合わせるため，式（6）を2乗した形で示します。
ここで，さらにブラジウスの第2公式へ代入する形式に合わせるため，ジューコフスキー変換（式（3））からzについて微分したものを式（7）に示します。
ここで，式（7）を式（4）の下線部に代入すると，以下のようになります。ここで，注意するべきは（1－a^2/z^2）です。分母に（1－a^2/z^2）がある状態では，その後の議論をするのに障害となるため，マクローリン展開（1次項のみ）を使用します。
この状態にできれば，式（6）と式（7）を代入して計算を進めると，式（8）のようになります。
式（8）の状態でブラジウスの第2公式の積分をすることは不可能なので，チート技である「コーシーの積分定理」（式（9））を使用します。
式（9）を式（8）に適用すると，簡潔な形に持ち込むことができるので，式（10）のような複素数形式になります。
式（10）を式（4）へ代入すると，翼の中心の周りのモーメントMである式（11）が求められ，式（1）と同じになります。
よって，ブラジウスの第2公式を利用して翼の中心の周りのモーメントMを導出できたことになります。
（2）例題2
次に，ブラジウスの第1公式を利用して揚力Lを求めてみましょう。。以下に具体的な設問を示します。
流速u0の一様流れにおいて，平面翼（長さ4a）が迎え角αにて置かれた場合，揚力Lは式（12）にて表されることをブラジウスの第1公式より導け。
先ほど触れた「例題1」と同じ手順で進めます。基本的な進め方は以下の通りです。
複素ポテンシャル→複素速度→マクローリン展開→コーシーの積分定理
→ブラジウスの第1公式
「例題2」の状況も図1と同様のため，省略します。
では，ブラジウスの第1公式を式（13）に示します。「例題1」と同様に，z平面→ζ平面に座標変換した形式にしてあります。そのため，ζ平面におけるx，y方向の圧力をそれぞれPξ，Pηとします。
次に，x軸に適当な傾き角αを持たせたことでz’平面として考えているため，任意の角度αを持った複素数z’→zに変換した円柱周りの複素ポテンシャルw(z)は，式（14）のようになります。
得られた式（14）をzについて微分した複素速度dw/dzを式（15）に示します。但し，ブラジウスの第1公式に代入する形式に合わせるため，式（15）を2乗した形で示します。
ここで，さらにブラジウスの第1公式へ代入する形式に合わせるため，ジューコフスキー変換（式（3））からzについて微分したものを式（16）に示します。
ここで，式（16）を式（15）に代入すると，以下のようになります。ここで，注意するべきは（1－a^2/z^2）です。分母に（1－a^2/z^2）がある状態では，その後の議論をするのに障害となるため，マクローリン展開（1次項のみ）を使用します。
この状態にできれば，式（15）と式（16）を代入して計算を進めると，式（17）のようになります。
式（17）の状態でブラジウスの第1公式の積分をすることは不可能なので，チート技である「コーシーの積分定理」（式（18））を使用します。
式（18）を式（13）に適用すると，簡潔な形に持ち込むことができるので，式（19）のような複素数形式になり，ζ平面におけるx，y方向の圧力Pξ，Pηを求められます。
ここで求められた圧力の合力はρΓu0であり，一様流れの速度u0に対して垂直に働く力，すなわち揚力Lとして考えることができます。この考えに沿って行くと，式（20）のようになり，式（12）と同じになります。
よって，ブラジウスの第1公式を利用して揚力Lを導出できたことになります。ちなみに式（20）の導出時に使用した循環Γの値については，過去の記事で紹介しているため，既に分かっているものとして取り上げています。（「翼理論（その4）」，（2）z平面のx軸に適当な傾き角αをなす一様流れと循環を加えた場合の循環より参照）
（3）まとめ
今回の記事のまとめを以下に示します。
① 流速u0の一様流れにおいて，平面翼（長さ4a）が迎え角αにて置かれた場合，ブラジウスの第1公式とブラジウスの第2公式により，揚力Lと翼の中心周りのモーメントMを導出することが可能である。
以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
次回は，「有限翼」について取り上げます。
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