補足編 コーシーの積分定理
皆様おはこんばんちは。
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
今回は，次回以降に投稿予定の「ブラジウスの第1公式」，「ブラジウスの第2公式」の解説で使用する「コーシーの積分定理」について取り上げてみようと思います。
（1）コーシーの積分定理とは
今回は，コーシーの積分定理を紹介していきます。この定理は，別名「コーシーの第1定理」とも呼ばれることがあり，この定理を導き出した暇人こそ，オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789～1857）というフランスの数学者です。コーシーは，数学者として特に現在では「解析学」と呼ばれる学問で多大な功績を残した人であり，過去に記事で取り上げた「コーシー・リーマンの微分方程式」も彼の功績の1つです。その他，知っている人であれば，「コーシーの〇〇」のような公式や定理が出てくるほど，彼の功績は大きなものです。
（参考：Wikipediaフリー百科事典）
さて，コーシーの積分定理は端的にいうと，とある閉曲線上の複素関数w(z)が正則，かつ連続な導関数であるときの1周線積分が必ず「ゼロ」になるという定理です。正式に以下のような言い方をします。
「単純閉曲線（始点と終点以外に交点を持たない閉曲線）Cで囲まれた内部領域Dと置くと，複素関数w(z)が単純閉曲線Cかつ内部領域Dで正則，かつ連続な導関数のとき，式（1）が成立する。」
では，式（1）が成立するかどうかを証明してみましょう。単純閉曲線Cとその内部領域Dで正則な複素関数w(z)=φ+iψと複素数z=x+iyと置くと，複素関数w(z)の単純閉曲線Cに沿った1周線積分は，式（2）のように表されます。
ここで，以前の記事で紹介した「ストークスの定理」を使います。
但し，使用するにあたって注意があります。ストークスの定理は，微小な面要素の総和が外周Cの周積分に等しいことを証明したものです。ここで，微小な面要素の総和をそのまま使用すると都合が良くないので，微小な面要素の総和から単純閉曲線Cの面積素の総和に変更します。
これを「平面のグリーンの定理」といい，ストークスの定理の特殊な場合として使うことが出来ます。よって，ストークスの定理の特殊な場合である「平面のグリーンの定理」は式（3）のように表されます。
では，式（3）を式（2）に代入すると，式（4）が得られます。
式（4）を更に式変形するには，コーシーの積分定理の文言で大事な言葉に注目します。「正則」です。複素関数が正則であれば，以前の記事で取り上げたコーシー・リーマンの微分方程式（以下，C-R方程式）が使えます。
そこで，式（5）にC-R方程式を示します。
式（5）を式（4）代入すると，式（6）のように表されます。
この式（6）は，式（1）と同じ式，すなわちコーシーの積分定理が証明できたことになります。コーシーの積分定理は，多くのパターンでも成立することが分かっていますので，次項ではそのパターンに注目してみましょう。
（2）積分路変形の原理
ここでは，コーシーの積分定理が成立するパターンの1つ目を見ていきましょう。図1に2点a，bを両端とする2つの曲線C1，C2がある場合の図形を示します。
コーシーの積分定理（式（1），または式（6））が成立することを前提に考えたうえで，図1の積分経路を数式化すると，式（7）のように表されます。今回は，a→bまでの経路を「プラス」として考えて，逆にb→aまでの経路を「マイナス」として考えることにします。
式（7）は経路によって，符合が変わることを用いて，始点と終点が同じであれば，経路が異なっていても（積分路変形），コーシーの積分定理が成立することを意味しています。これを「積分路変形の原理」と呼ぶこともあります。数式だけ見ると，線形性（加減法を使っただけ）が利用可能であることを述べただけですが，とても重要なのです。
（3）2重連結領域
コーシーの積分定理が成立するパターンの2つ目を見ていきましょう。図2に閉曲線C1の外部に他の閉曲線C2があり，複素関数w(z)は閉曲線C1，C2の上およびその間で正則である場合の図形を示します。（C2＞C1）
図2のような状態を「2重連結領域」と呼びます。
およびその間で正則である場合（2重連結領域）
ここで，コーシーの積分定理が成立することを前提に考えたうえで，図2の積分経路を数式化すると，式（8）のように表されます。今回は，図2に示した反時計周りを「プラス」として考えることにします。
式（8）より，始点と終点が同じであれば，コーシーの積分定理が成立する積分路変形の原理を用いると，式（9）のように書き換えが出来ます。
線分ABと線分A’B’に注目し，両者の辺の長さが同じでかつ極限まで線分AA'と線分BB’の間を省略できるまで短くすると，式（10）に示すように取扱いの都合が良くなります。
また，線分AＡ‘と線分ＢB’を省略できるまで短くすると，式（11）のように表され，式（10），（11）を式（9）に代入すると，式（12）のようになります。
式（12）は，閉曲線C1の外部に他の閉曲線C2が存在するとき（2重連結領域）でも，コーシーの積分定理の積分定理が成立することを意味しています。
（4）単一閉曲線内部に半径rとなる円Kを境界とする2重連結領域
コーシーの積分定理が成立するパターンの3つ目を見ていきましょう。図3に単一閉曲線Ｃの内部に半径rとなる円Kを境界とする2重連結領域の図形を示します。また，複素関数はw(z)=(z-z0)^nとします。（n：正負の整数）
コーシーの積分定理（2重連結領域）を利用すると，式（13）のように表されます。
ここで，点aは原点からのズレ量と考えると，複素数z-a=re^iθ，複素数の微分dz = ire^iθdθとなるため，式（13）を書き換えると，式（14）のようになります。
式（14）を見ると，sinとcosで構成されているので，両者をそれぞれ0～2πの領域（円1周の領域）で積分すると，以下の式（15）のような結果が得られます。
式（15）を式（14）に代入すると，式（16）のようになります。
式（16）の結果から，n=－1の場合のみ複素関数w(z)=(z-z0)^nの積分値が「2πi」となり，n=－1以外の値の場合は複素関数w(z)=(z-z0)^nの積分値が全て「ゼロ」となるのです。
もし，点aは原点からのズレ量と考えずa=0の特別な場合であっても，複素関数w(z)=z^nの積分値は，n=－1の場合のみ「2πi」となり，n=－1以外の値の場合は，式（17）のように全て「ゼロ」となります。
よって，式（16），（17）の結果から，コーシーの積分定理は，n=－1の場合のみ積分値を持つことになり，n=－1以外の値の場合は全て「ゼロ」となります。
（5）まとめ
今回の記事のまとめを以下に示します。
① コーシーの積分定理を導き出したオーギュスタン＝ルイ・コーシーは，フランスの数学者であり，解析学で多大な功績を残した。
② コーシーの積分定理の導出には，ストークスの定理の特殊な場合である平面のグリーンの定理とコーシー・リーマンの微分方程式を用いる。
③ コーシーの積分定理は，積分路変形や2重連結領域でも成立するが，一閉曲線Ｃの内部に半径rとなる円Kを境界とする2重連結領域の場合のみ，特殊なパターンが存在する。
以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
※本記事は，「ブラジウスの第1公式」，「ブラジウスの第2公式」にて利用する背景知識となります。
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