任意の奇数はメルセンヌ数の約数になる
先日こちらの記事で電卓を使って実数aのn乗根を求める方法について紹介しました。
しかしこの方法で任意の自然数nに対してaのn乗根を求めることができるわけではありません。記事の中で「nがあるメルセンヌ数の約数として現れること」がaのn乗根を求めることができるために重要であることを示しました。
正確に述べると、紹介した方法でaのn乗根を求めることができるnの必要十分条件は、「n=2^l×m (mは奇数)と表したとき、mがメルセンヌ数の約数になる」ということになります。2^l部分は『√』ボタンをl回押すことで実現できるため、奇数mがメルセンヌ数の約数に現れるかどうかだけが最大の関心事になります。
ここでメルセンヌ数とは2^p−1の形をした自然数の事です。紛らわしいですがpは素数とは限らない自然数です。ある自然数がメルセンヌ数の約数に出てくるか否かはとても難しい問題のように思えたのですが、みうらさん(@miura_prime)から
「最後のほうの問い『任意の自然数がメルセンヌ数の約数になり得るのか?』について、（偶数はメルセンヌ数の約数になり得ないですが、）“任意の奇数はあるメルセンヌ数の約数になる”ことに気づいたのでご連絡しました。フェルマーの小定理の応用で示せます。」
とご連絡をいただきました(みうらさんコメント誠にありがとうございました。)。
少し考えてみると任意の奇数がメルセンヌ数の約数に現れることが、意外なほどあっさりわかってしまいました。つまり、ルートボタンがついた電卓を用いると、任意の自然数nについてaのn乗根を求めることができることが分かったのです。
メルセンヌ数の約数なんてとても難しそうということで考察をしなかった自分に反省し、本記事ではその証明を紹介し、いくつかの奇数に対しその奇数を約数にもつメルセンヌ数を具体的に求めてみます。
この記事の主な内容
・メルセンヌ数の約数
・オイラーの定理
・メルセンヌ数の約数について
・まとめ
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