確率論#2

次に、日常で使われてる確率について定義を見ていきましょう。見ての通り確率とは、集合から[0,1]区間内の実数への関数と捉えることができます。

定義1.2
可測空間$${(\Omega,\mathcal{F})}$$において、次の2つを満たす$${\mathbf{P}:\mathcal{F}\to[0,1]}$$を確率測度と言う。
(1)$${\mathbf{P}(\Omega)=1}$$
(2)$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$が互いに素($${A_i\cap A_j=\emptyset(i\neq j)}$$)な時、$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$

また、この3つの組$${(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})}$$を確率空間と言う。

(2)の性質は$${\sigma}$$-加法性と呼ばれるものであり、これと$${\mathbf{P}(\emptyset)=0}$$から有限加法性と呼ばれる次の性質も成り立つと示すことができます。

(2)$${^{\prime}}$$$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$が互いに素($${A_i\cap A_j=\emptyset(i\neq j)}$$)な時、$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{P}(A_i)}}$$

証明は簡単なので是非手を動かしてみてください。ヒントは$${A_i=\emptyset(i=n+1,n+2,\cdots)}$$とすれば簡単に導けます。