数学小話#5〜写像の深堀回〜

数学の議論するのに必要な写像、全射、単射、全単射について述べていきます。簡単な概念ですが、数学初学者にとっては取っ付き難く感じてしまう人もいるのかと思います。一つ一つ理解していきましょう。


集合$${X,Y}$$にたいして、$${X}$$のそれぞれの要素が$${Y}$$の要素に一意的に対応している時、その対応関係$${f}$$を$${X}$$から$${Y}$$への写像という。この時、$${X}$$を$${f}$$の定義域といい、$${Y}$$を$${f}$$の終域という。また、$${X}$$の要素$${x}$$に対応する$${Y}$$の要素を$${f(x)}$$と表し、$${f}$$による$${x}$$の像または値という。これを$${f:X\to Y;x\mapsto f(x)}$$と表す。
即ち、写像とは｢対応関係｣のことであることを理解しておく必要がありますね。

$${f}$$が全射であるとは、任意の$${y\in Y}$$に対して、$${y=f(x)}$$を満たす$${x\in X}$$が存在する。
即ち、終域に存在するどの$${y}$$もそれに対応した定義域の$${x}$$が(1つとは限らず)あるということになりますね。

$${f}$$が単射であるとは、任意の$${x_1,x_2\in X}$$に対して、それぞれ$${y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)}$$とした時に、$${x_1\neq x_2}$$ならば、$${y_1\neq y_2}$$が成り立つ。
即ち、定義域の異なる2つ$${x_1,x_2}$$の対応した$${y_1,y_2}$$は終域の異なる2つになるということになります。

$${f}$$が全単射であるとは、$${f}$$が全射かつ単射である。
即ち、定義域と終域の要素が過不足無く、一対一に対応しているということになります。

合コンでの例えが分かりやすいかと思います。(自分は合コン行ったことないんですけどね。)

男性の集合を$${M}$$とし、女性の集合を$${W}$$とします。この時、写像$${f:M\to W}$$を男性が好意を寄せてる女性を表すものとします。
ある日、あるお店で3組の合コンが開かれました。

合コン1には$${m_1,m_2,m_3,m_4\in M}$$と、$${w_1,w_2,w_3\in W}$$が出席しているとします。
全射とはどの女性に注目したとしても、その女性に好意を寄せている男性が居るということになります。
例えば、$${f(m_1)=w_1,f(m_2)=w_2,f(m_3)=w_3,f(m_4)=w_3}$$である時、男性が好意を寄せている人を表す写像$${f}$$は全射であると言えるのです。女性$${w_4}$$は他の女性に比べて魅力的なようですね。

合コン2には$${m_1^{\prime},m_2^{\prime},m_3^{\prime}\in M}$$と、$${w_1^{\prime},w_2^{\prime},w_3^{\prime},w_4^{\prime}\in W}$$が出席しているとします。
単射とは男性が好意を寄せている女性はバラバラということになります。
例えば、$${f(m_1^{\prime})=w_1^{\prime},f(m_2^{\prime})=w_2^{\prime},f(m_3^{\prime})=w_3^{\prime}}$$である時、男性が好意を寄せている人を表す写像$${f}$$は単射であると言えるのです。女性$${w_4^{\prime}}$$は他の女性に比べであまり魅力が無いようですね。

合コン3には、$${m_1^{\prime\prime},m_2^{\prime\prime},m_3^{\prime\prime},m_4^{\prime\prime}\in M}$$と、$${w_1^{\prime\prime},w_2^{\prime\prime},w_3^{\prime\prime},w_4^{\prime\prime}\in W}$$が出席しているとします。
全単射とはどの女性に注目したとしても、その女性に好意を寄せている男性が居て、男性が好意を寄せている女性はバラバラということになります。
例えば、$${f(m_1^{\prime\prime})=w_1^{\prime\prime},f(m_2^{\prime\prime})=w_2^{\prime\prime},f(m_3^{\prime\prime})=w_3^{\prime\prime},f(m_4^{\prime\prime})=w_4^{\prime\prime}}$$である時、男性が好意を寄せている人を表す写像$${f}$$は全単射であると言えるのです。これは(男性陣にとって、取り合うことの無い)とても嬉しい合コンになったということになりますね。

いかがでしたでしょうか？自分でも例を作ってみたり、身近にある関数が全射なのか、単射なのか、全単射なのかを考えてみるといいと思います。