SIRモデル(感染症モデル)について〜googleのスプレッドシートでグラフ化してみる〜

今回の記事はこちらの続きとなります。

前回紹介したSIR数列モデルをグラフ化したらどのように変化するのかをgoogleのスプレッドシートを使って見ていきたいと思います。
(僕が知っている中で一番簡単でお手軽だった為スプレッドシートを使いました。ExcelやPythonなどでコード書いてもグラフ化することは可能で、むしろプログラミング出来る方はPythonとかでグラフ化した方が早いし楽かもしれないですね💦)

SIR数列モデル

記号

$${N}$$ : 人口
$${S_n}$$ : $${n}$$日目の感受性者数
$${I_n}$$ : $${n}$$日目の感染者数
$${R_n}$$ : $${n}$$日目の回復した人数
$${\beta}$$ : 感染率
$${\gamma}$$ : 回復率

式

$$
\begin{cases}
S_{n+1} - S_n = -\beta S_n I_n \\
I_{n+1} - I_n = \beta S_n I_n - \gamma I_n \\
R_{n+1} - R_n = \gamma I_n
\end{cases}
$$

設定

次のような状況を考える。

$${N = 10000000}$$ (人口一千万人)
$${I_1 = 1}$$ (感染者数1人)
$${S_1 = 9999999}$$
$${R_1 = 0}$$
$${\gamma = 0.1}$$ (感染したら10日で回復)

感染率について

前回は全体を12人とし、その12人全員が毎日接触するとしていた。今回は以下のように設定する。

• 感染者1人に対し、1日10人と接触する

• 感染者と感受性者が接触すると1日あたり0.05の確率で感受性者が感染するとする

$${n}$$日目、感受性者の割合は$${S_n/N}$$である。
なので、感染者1人が誰か1人(感受性者または感染者または回復した人)と接触する場合、感染する可能性のある人の割合は$${S_n/N}$$となる。

$${n}$$日目の感染者数が$${I_n}$$で、感染者1人に対し、1日10人と接触するとしているので、接触したとき感染する確率(0.05)を無視すると、感染者数は

$$
10 \times I_n \times S_n/N
$$

となる。

よって、接触したとき感染する確率0.05を含ると、$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけての感染者数は

$$
0.05 \times 10 \times I_n \times S_n/N
$$

以上のことから感染率$${\beta}$$は

$$
\beta = 0.05 \times 10 / N
$$

とすることにする。

googleのスプレッドシートでグラフ化してみる

項目を作成する

• 一行目に「日数」「感受性者数」「感染者数」「回復した人数」の項目を作成する。

• 上とは別の列に初期値に必要な項目とその値を設定する

  • 感染率は0.5/Nとしている

初期値の設定

• 日数を記入

  • 今回は100日ぐらいまで調べようと思うので1から100までA列に記入

• 回復した人数は「0」

• 感染者数は「感染者数初期値」

  • 図のスプレッドシートでは「=F3」

• 感受性者数は「全体-感染者数初期値」

  • 図のスプレッドシートでは「=F2-F3」

2日目の感受性者数

• $${S_2 = S_1 - \beta S_1 I_1}$$より、感受性者数の列の2日目のセルに式「$${S_1 - \beta S_1 I_1}$$」を記入する

  • 図のスプレッドシートでは「=B2-$F$4*B2*C2」

  • 感染率$${\beta}$$は固定のため、シートのF4は$マークをつけておく

2日目の感染者数

• $${I_2 - I_1 = \beta S_1 I_1 - \gamma I_1}$$より、感染者数の列の2日目のセルに式「$${I_1 + \beta S_1 I_1 - \gamma I_1}$$」を記入する

  • 図のスプレッドシートでは「=C2+$F$4*B2*C2-$F$5*C2」

  • 感染率$${\beta}$$と回復率$${\gamma}$$は固定のため、シートのF4とF5は$マークをつけておく

2日目の回復した人数

• $${R_2 - R_1 = \gamma I_1}$$より、回復した人数の列の2日目のセルに式「$${R_1 + \gamma I_1}$$」を記入する

  • 図のスプレッドシートでは「=D2+$F$5*C2」

  • 回復率$${\gamma}$$は固定のため、シートのF5は$マークをつけておく

n日目の感受性者数、感染者数、回復した人数

• 感受性者数、感染者数、回復した人数それぞれの列で2日目の行のセルの右下にカーソルを合わせて100日目までクリックしながら下にスライドさせる

グラフ挿入

• 感受性者数と感染者数と回復した人数の列を選択し、挿入→グラフをクリック

• すると折れ線グラフがいい感じに現れる

• 後はタイトル変えたり、横軸に日数を付け加えたりなどグラフの微調整をする

最後に

次回はグラフを見ながらSIRモデルについてもう少し詳しいお話をしようと思います。

最後まで読んでくださりありがとうございます。

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