SIRモデル(感染症モデル)について〜SIRモデルとは〜

今少しずつ勉強していっているSIRモデル(感染症モデル)について数回に分けて記事にしていこうと思います。

今回はSIRモデルとは何か？についてなるべく噛み砕いて書いていこうと思います。
数学が苦手な方も雰囲気だけでも伝わっていると嬉しいです。
(途中、微分方程式という難しそうな式が出てきますが、読み飛ばしても大丈夫です！)

SIRモデルとは

• 1972年にWilliam Ogilvy Kermack と Anderson Gray McKendrick により発表された感染症モデル

• SIRとは以下の頭文字で、それらにより式が構成される

  • S : 感受性者(Susceptible)

  • I : 感染者(Infected)

  • R : 回復した人、死亡した人(recovered, removed)

• つまり、Sはこれから感染する可能性がある人達、Iは感染した人達、Rは感染後回復した人達もしくは死亡者である

式

時刻$${t}$$に対して、

$${S(t)}$$ : 感受性者数
$${I(t)}$$ : 感染者数
$${R(t)}$$ : 回復した人や死亡者の数

とする。
このとき、SIRモデルは以下のように表される。

$$
\begin{split}
\frac{dS(t)}{dt} &= -\beta S(t)I(t) \\
\frac{dI(t)}{dt} &= \beta S(t)I(t) - \gamma I(t) \\
\frac{dR(t)}{dt} &= \gamma I(t)
\end{split}
$$

ただし、$${\beta}$$は感染率、$${\gamma}$$は回復率を表す。

イメージ

次のような例で考えてみる。

• 全体人数は12人(12人同じ空間にいるとする)

• このうち1人があるウイルスに感染してしまったとする

  • すなわち、感受性者数は11人、感染者数1人

• このウイルスは感染者と接触すると1日あたり0.1の確率で感染するとする

• 感染した人は2日で回復するとする

1日目

• 感受性者：11人

• 感染者：1人

• 回復した人：0人

1日目→2日目

感受性者は11人、感染者は1人より感受性者と感染者との接触回数は11回となる。
また、1日あたり感受性者が感染者と接触すると0.1の確率で感染するので、

$$
11\times 0.1 = 1.1
$$

より感受性者から1人(小数点以下切り捨て)感染してしまう。

回復には2日かかるので、1日目の段階では回復した人は0人である。

なので、

• 感受性者：11人→10人

• 感染者：1人→2人

• 回復した人：0人→0人

となる。

2日目

• 感受性者：10人

• 感染者：2人

• 回復した人：0人

2日目→3日目

1日目→2日目の場合と同様に考えると、
感受性者は10人、感染者は2人より感受性者と感染者との接触回数は$${10\times 2 = 20}$$回となる。
また、1日あたり感受性者が感染者と接触すると0.1の確率で感染するので、

$$
20\times 0.1 = 2
$$

より感受性者から2人感染してしまう。

回復に関しては1日目感染してた1人が回復する。

• 感受性者：10人→8人

• 感染者：2人→3人

• 回復した人：0人→1人

3日目

• 感受性者：8人

• 感染者：3人

• 回復した人：1人

3日目→4日目

感受性者は8人、感染者は3人より感受性者と感染者との接触回数は$${8\times 3 = 24}$$回となる。
また、1日あたり感受性者が感染者と接触すると0.1の確率で感染するので、

$$
24\times 0.1 = 2.4
$$

より感受性者から2人(小数点以下切り捨て)感染してしまう。

回復する人は、2日目に感染した2名が回復する。
よって、

• 感受性者：8人→6人

• 感染者：3人→3人

• 回復した人：1人→3人

というような感じになる。

まとめ

感受性者と感染者の接触回数は

$$
\text{感受性者}\times \text{感染者}
$$

となるので、感受性者が感染者になる人数は、

$$
\text{感受性者}\times \text{感染者}\times \text{感染率}
$$

また、感染者が回復する人数は、

$$
\text{感染者}\times 回復率
$$

となる。

※上の例では切り捨てで考えているため少しイメージしにくいが、今回の例では2日で回復するとしているので回復率は0.5としている。

数列モデル

上の例を参考に数列モデルを立てていく

$${N}$$ : 全体の人数
$${S_n}$$ : $${n}$$日目の感受性者数
$${I_n}$$ : $${n}$$日目の感染者数
$${R_n}$$ : $${n}$$日目の回復した人の数
$${\beta}$$ : 感染率
$${\gamma}$$ : 回復率 ($${1/\gamma}$$日で回復)

とする。

このとき、

$$
S_n + I_n + R_n = N
$$

• 感受性者に関して

$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけての感受性者数は

$$
\beta S_n I_n \text{ (人)}
$$

減る。
つまり、

$$
S_{n+1} - S_n = -\beta S_n I_n
$$

• 回復に関して

$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけての回復した人数は

$$
\gamma I_n \text{ (人)}
$$

増える。
よって、

$$
R_{n+1} - R_n = \gamma I_n
$$

• 感染者に関して

$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけて、
感受性者から感染者へ$${\beta S_n I_n}$$人移り、
感染者から回復した人は$${\gamma I_n}$$人移る。

よって、$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけての感染者は

$$
\beta S_n I_n - \gamma I_n \text{ (人)}
$$

増える。

※「感受性者」から「感染者」への人数が「感染者」から「回復した人」への人数よりも少なかった場合、感染者の人数は減っていく。
すなわち、$${n}$$日目から$${n+1}$$日目にかけての感染者は

$$
\gamma I_n - \beta S_n I_n \text{ (人)}
$$

減る。

よって、

$$
I_{n+1} - I_n = \beta S_n I_n - \gamma I_n
$$

---

以上のことから、

$$
\begin{cases}
S_{n+1} - S_n = -\beta S_n I_n \\
I_{n+1} - I_n = \beta S_n I_n - \gamma I_n \\
R_{n+1} - R_n = \gamma I_n
\end{cases}
$$

となる。

次回

次回はGoogle Sheetsを使ってもっと人数を増やし、上で立てた式をグラフ化してSとIとRはどのように変化していくかを見ていこうかと思います。

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最後まで読んでくださりありがとうございます。

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