めちゃくちゃ大事な背理法

こんにちは。背理法と”⇒”(ならば)の理解が曖昧で先生にめちゃくちゃ言われたじゃこです。

さっそく本題。

背理法

大雑把にいうと、矛盾を導くことである命題Pを導く推論方法です。

ちゃんとした説明の前に、まずは論理記号を復習しましょう。

・P ∨ Q ; PまたはQ
・P ∧ Q ; PかつQ
・P ⇒ Q ; PならばQ
・¬P ; Pでない

そして、矛盾とは、

命題Pに対して、P ∧ (¬P)が成り立つこと

をいいます。

そして、背理法とは、

命題「P ⇒ Q」を証明するために、

Pと¬Qが成り立つと仮定し、P ∧ (¬P)、つまり矛盾を導き、その結果として「P ⇒ Q」を得ることです。

さて、「√2が無理数である」ことを示すには、

まず、√2が有理数であると仮定します。
そして、「正整数p,qは互いに素、かつ、p,qは互いに素でない」を導き、
その結果、背理法により√2が有理数でない、すなわち無理数であると帰結します。

これは、

「p,qが互いに素な正整数」⇒「√2=p/qと表せる互いに素な正整数p,qは存在しない」

を示していることになります。

「√2=p/qと表せる互いに素な正整数p,qは存在しない」

これは、√2が無理数であることと同じですから、結論を否定して、仮定を使って矛盾を出すといったことをしています。

実は、「√2が無理数であることを示せ。」は単純ですけど、こういう背景があるんですね。

というわけで、背理法はよくよく考えたら難しいということが分かりました(何も分かってないかも笑)

ここは違うってものが見つかったら教えてください！

ではでは！